Trong không gian $\Large Oxyz$, cho các điểm A(5;1;5), B(4;3;2), C(-3;

Trong không gian $\Large Oxyz$, cho các điểm A(5;1;5), B(4;3;2), C(-3;-2;1). Điểm I(a;b;c) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính a + 2b + c?

• A. 1
• B. 3
• C. 6
• D. -9

Cách 1:$\Large \overrightarrow{AB}=(-1;2;-3), \overrightarrow{AC}=(-8;-3;-4)$

Gọi M, N lần lượt là trung điểm $\Large AB, AC\Rightarrow$ $\Large \left\{\begin{align}&M\left(\dfrac{9}{2};2;\dfrac{7}{2}\right)\\&N\left(1;-\dfrac{1}{2};3\right)\\\end{align}\right.$

Gọi $\Large \overrightarrow{n}$ là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) $\Large \Rightarrow \overrightarrow{n}=[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]=(-17;20;19)$

$\Large (ABC): =-17x+20y+19z-30=0$

I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align}&\overrightarrow{IM}\perp \overrightarrow{AB}\\&\overrightarrow{IN}\perp\overrightarrow{AC}\\&I\in (ABC)\\\end{align}\right.$

$\Large \Rightarrow \left\{\begin{align}&\left(\dfrac{9}{2}-a\right).(-1)+(2-b).2+\left(\dfrac{7}{2}-c\right).(-3)=0\\&(1-a).(-8)+\left(-\dfrac{1}{2}-b\right).(-3)+(3-c).(-4)=0\\&-17a+20b+19c-30=0\\\end{align}\right.$ $\Large \Rightarrow \left\{\begin{align}&a-2b+3c=11\\&8a+3b+4c=\dfrac{37}{2}\\&-17a+20b+19c=30\\\end{align}\right.$ $\Large \Rightarrow \left\{\begin{align}&a=1\\&b=-\dfrac{1}{2}\\&c=3\\\end{align}\right.$

Vậy $\Large a+2b+c=1+2.\left(-\dfrac{1}{2}\right)+3=3$

Cách 2:

Ta có $\Large \overrightarrow{AB}=(-1;2;-3)$ và $\Large \overrightarrow{BC}=(-7;-5;-1) \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=0\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại B

Vì I là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Large \Delta ABC$ nên I là trung điểm của AC

Vậy $\Large I\left(1;-\dfrac{1}{2};3\right)\Rightarrow a+2b+c=1+2\left(-\dfrac{1}{2}\right)+3=3$