Trong không gian với hệ tọa $\Large Oxyz$ cho ba điểm $\Large A(1; 4;

Trong không gian với hệ tọa $\Large Oxyz$ cho ba điểm $\Large A(1; 4; 5), B(3; 4; 0), C(2; -1; 0)$ và mặt phẳng $\Large (P): 3x-3y-2z=12.$ Gọi điểm $\Large M(a; b; c)$ thuộc $\Large (P)$ sao cho $\Large MA^2+MB^2+3MC^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng $\Large a+b+c$

• A.

  A. $\Large 3.$

• B.

  B. $\Large 2.$

• C.

  C. $\Large -2.$

• D.

  D. $\Large -3.$

Chọn A

Gọi $\Large I$ là điểm thỏa mãn $\Large \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$

$\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align} & 1-x+3-x+3(2-x)=0 \\ & 4-y+4-y+3(-1-y)=0 \\ & 5-z-z+3(-z)=0 \end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align} & x=2 \\ & y=1 \\ & z=1 \end{align}\right.$ $\Large \Rightarrow I(2; 1; 1).$

Ta có: $\Large MA^2+MB^2+3MC^2$ $\Large =\big(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\big)^2+\big(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\big)^2+3\big(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}\big)^2$ $\Large =5MI^2+IA^2+IB^2+3IC^2+2\overrightarrow{MI}\big(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}\big)$ $\Large = 5MI^2+IA^2+IB^2+3IC^2$

Khi đó $\Large MA^2+MB^2+3MC^2$ nhỏ nhất khi $\Large MI$ nhỏ nhất, tức là $\Large M$ là hình chiếu của $\Large I$ trên mặt phẳng $\Large (P).$

Phương trình đường thẳng $\Large \Delta$ đi qua điểm $\Large I$ và vuông góc với mặt phẳng $\Large (P)$ là:

$\Large \dfrac{x-2}{3}=\dfrac{y-1}{-3}=\dfrac{z-1}{-2}.$

Khi đó tọa độ điểm $\Large M$ là nghiệm của hệ phương trình: 

$\Large \left\{\begin{align} & 3x-3y-2z=12 \\ & x-2=-(y-1) \\ & 2(x-2)=-3(z-1) \end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align} & 3x-3y-2z=12 \\ & x+y=3 \\ & 2x+3z=7 \end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align} & x=\dfrac{7}{2} \\ & y=\dfrac{-1}{2} \\ & z=0 \end{align}\right.$

Vậy $\Large a+b+c=\dfrac{7}{2}-\dfrac{1}{2}=3.$