Tìm tất cả các giá trị của $\Large m$ để phương trình $\Large \mathrm{

Tìm tất cả các giá trị của $\Large m$ để phương trình $\Large \mathrm{log}_2^2x-\mathrm{log}_2x^2+3=m$ có nghiệm $\Large x \in \big[1; 8\big].$

• A.

  A. $\Large 2 \leq m \leq 6.$

• B.

  B. $\Large 3 \leq m \leq 6.$

• C.

  C. $\Large 6 \leq m \leq 9.$

• D.

  D. $\Large 2 \leq m \leq 3.$

Chọn A

Đặt $\Large t=\mathrm{log}_2x.$

Khi $\Large x \in [1; 8]$ thì $\Large t\in [0; 3].$

Bài toán trở thành: Tìm $\Large m$ để phương trình $\Large t^2-2t+3=m$ có nghiệm $\Large t \in [0; 3].$

Xét hàm số $\Large f(t)=t^2-2t+3$ với $\Large t \in [0; 3],$ ta có:

$\Large {f}'(t)=2t-2=0 \Leftrightarrow t=1$

$\Large \Rightarrow \underset{t\in [0;3]}{\min} f(t)=f(1)=2;$ $\Large \underset{t\in [0; 3]}{\max} f(t)=f(3)=6.$

Đồ thị hàm số $\Large y=f(t)=t^2-2t+3$ và đường thẳng $\Large y=m$ sẽ cắt nhau tại điểm có hoành độ $\Large t \in [0; 3]$ nếu như $\Large \underset{t\in [0; 3]}{\min}f(t) \leq m \leq \underset{t \in [0; 3]}{\max} f(t)$ $\Large \Leftrightarrow 2 \leq m \leq 6.$