Trong không gian với hệ tọa độ $\Large Oxyz$, cho hai điểm A(-1;2;0),

Trong không gian với hệ tọa độ $\Large Oxyz$, cho hai điểm A(-1;2;0), B(2;-3;2). Gọi $\Large (S)$ là mặt cầu đường kính AB và Ax là tiếp tuyến của $\Large (S)$ tại A; By là tiếp tuyến của $\Large (S)$ tại B và $\Large Ax\perp By$. Hai điểm M, N lần lượt di động trên $\Large Ax,By$ sao cho MN là tiếp tuyến của $\Large (S)$. Hỏi tứ diện AMBN có diện tích toàn phần nhỏ nhất là?

• A. $\Large 19\sqrt{3}$
• B. $\Large 19(\sqrt{2}+\sqrt{3})$
• C. $\Large 19(2+\sqrt{3})$
• D. $\Large 19(2+\sqrt{6})$

Giả sử $\Large (S)$ tiếp xúc với MN tại điểm O

Theo tính chất tiếp tuyến, ta có $\Large x=AM=MO, y=BN=NO$ và $\Large \left\{\begin{align}&AB\perp AM\\&BN\perp AM\\\end{align}\right.$ $\Large \Rightarrow AM\perp (ABN)\Rightarrow AM\perp AN$

Theo Pitago, ta có $\Large \left\{\begin{align}&MN=MO+ON=AM+BN\\&MN^{2}=AM^{2}+AN^{2}=AM^{2}+AB^{2}+BN^{2}\\\end{align}\right.$

Do đó $\Large (AM+BN)^{2}=AM^{2}+AB^{2}+BN^{2}$

$\Large \Rightarrow xy=AM.BN=\dfrac{AB^{2}}{2}=\dfrac{3^{2}+5^{2}+2^{2}}{2}=19$

Ta có:

$\Large S_{ABM}=\dfrac{1}{2}AB.AM=\dfrac{\sqrt{38}}{2}x$

$\Large S_{ABN}=\dfrac{1}{2}AB.BN=\dfrac{\sqrt{38}}{2}y$

$\Large S_{AMN}=\dfrac{1}{2}AM.AN=\dfrac{1}{2}x\sqrt{38+y^{2}}$

$\Large S_{BMN}=\dfrac{1}{2}BM.BN=\dfrac{1}{2}y\sqrt{38+x^{2}}$

Khi đó theo bất đẳng thức AM - GM, ta có

$\Large S_{tp}=\dfrac{1}{2}(\sqrt{38}x+\sqrt{38}y+x\sqrt{38+y^{2}}+y\sqrt{38+x^{2}})$

$\Large \geq \dfrac{1}{2}(2\sqrt{\sqrt{38}x.\sqrt{38}y}+2\sqrt{x\sqrt{38+y^{2}}.y\sqrt{38+x^{2}}})$

$\Large =\sqrt{38xy}+\sqrt{xy\sqrt{38^{2}+38(x^{2}+y^{2})+x^{2}y^{2}}}$

$\Large \geq \sqrt{38xy}+\sqrt{xy\sqrt{38^{2}+38.2xy+x^{2}y^{2}}}=19(\sqrt{2}+\sqrt{3})$