Trong không gian với hệ tọa độ $\Large Oxyz$, cho ba điểm $\Large A(4;

Trong không gian với hệ tọa độ $\Large Oxyz$, cho ba điểm $\Large A(4;2;0), B(2;4;0), C(2;2;1)$. Biết điểm $\Large H(a;b;c)$ là trực tâm của tam giác ABC. Tính $\Large S=a-b+3c$?

• A. $\Large S=-6$
• B. $\Large S=-2$
• C. $\Large S=6$
• D. $\Large S=2$

Ta có: $\Large \overrightarrow{HA}=(4-a;2-b;-c),\overrightarrow{HB}=(2-a;4-b;-c),\overrightarrow{BC}=(0;-2;1),\overrightarrow{AC}=(-2;0;1)$

$\Large \Rightarrow [\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AC}]=(-2;-2;-4)\Rightarrow [\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AC}].\overrightarrow{HA}=2(a-4)+2(b-2)+4c=2a+2b+4c-12$

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên:

$\Large \left\{\begin{align}&\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{AC}=0\\&\overrightarrow{HA}.\overrightarrow{BC}=0\\&[\overrightarrow{HC},\overrightarrow{AC}].\overrightarrow{HA}=0\\\end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align}&2(a-2)-c=0\\&2(b-2)-c=0\\&2a+2b+4c-12=0\\\end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align}&2a-c=4\\&2b-c=4\\&a+b+2c=6\\\end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align}&a=\dfrac{7}{3}\\&b=\dfrac{7}{3}\\&c=\dfrac{2}{3}\\\end{align}\right.$ $\Large \Rightarrow S=a-b+3c=2$