Trong không gian $\Large Oxyz$, cho tứ diện với điểm $\Large A(1;2;2),

Trong không gian $\Large Oxyz$, cho tứ diện với điểm $\Large A(1;2;2), B(-1;2;-1), C(1;6;-1)$ và $\Large D(-1;6;2)$. Biết mặt phẳng qua B, C và tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD có một vecto pháp tuyến là $\Large (-1;b;c)$. Tổng b+c là

• A. 0
• B. 1
• C. 2
• D. -1

Ta có phương trình các mặt phẳng như sau:

$\Large (ABC):6x-3y-4z+8=0$

$\Large (BCD):6x-3y+4z+16=0$

$\Large (CDA):6x+3y+4z-20=0$

$\Large (ABD): 6x+3y-4z-4=0$

Gọi $\Large I(a'; b'; c')$ là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện DABC

Do đó:

I nằm cùng phía với A đối với (DBC) suy ra: $\Large 6a'-3b'+4c'+16 > 0$

I nằm cùng phía với B đối với (DAC) suy ra: $\Large 6a'+3b'+4c'-20 < 0$

I nằm cùng phía với C đối với (DAB) suy ra: $\Large 6a'+3b'-4c'-4 > 0$

I nằm cùng phía với D đối với (ABC) suy ra: $\Large 6a'-3b'-4c'+8 < 0$

Suy ra:

$\Large \left\{\begin{align}&d(I,(DAB))=d(I,(DAC))\\&d(I,(DAB))=d(I,(DBC))\\&d(I,(DAB))=d(I,(ABC))\\\end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align}&|6a'+3b'-4c'-4|=|6a'+3b'+4c'-20|\\&|6a'+3b'-4c'-4|=|6a'-3b'+4c'+16|\\&|6a'+3b'-4c'-4|=|6a'-3b'-4c'+8|\\\end{align}\right.$ $\Large \leftrightarrow \left\{\begin{align}&6a'+3b'-4c'-4=-(6a'+3b'+4c'-20)\\&6a'+3b'-4c'-4=6a'-3b'+4c'+16|\\&6a'+3b'-4c'-4=-(6a'-3b'-4c'+8\\\end{align}\right.$ $\Large \left\{\begin{align}&a'=0\\&b'=4\\&c'=\dfrac{1}{2}\\\end{align}\right.$

Suy ra $\Large I\left(0;4;\dfrac{1}{2}\right), \overrightarrow{BI}=\left(1;2;\dfrac{3}{2}\right), \overrightarrow{BC}=(2;4;0)$

$\Large [\overrightarrow{BI},\overrightarrow{BC}]=(-3;3;0)$ cùng phương với $\Large \overrightarrow{n}=(-1;1;0)$

Suy ra $\Large (BCI)$ có một VTPT là $\Large \overrightarrow{n}=(-1;1;0)=(-1;b;c)$

Vậy: b+c=1