Trong không gian với hệ tọa độ $\large Oxyz$, cho điểm $\large M(1;2;3

Trong không gian với hệ tọa độ $\large Oxyz$, cho điểm $\large M(1;2;3)$. Mặt phẳng $\large (P)$ đi qua $\large M$ và cắt các tia $\large Ox;Oy;Oz$ lần lượt tại các điểm $\large A; B; C (A; B; C\ne 0)$ sao cho thể tích của tứ diện $\large OABC$ nhỏ nhất. Phương trình của mặt phẳng $\large (P)$ là?

• A.

  $\large \dfrac{x}{6}+\dfrac{y}{3}+\dfrac{z}{1}=1$

• B.

  $\large \dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{6}+\dfrac{z}{9}=1$

• C.

  $\large \dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{6}+\dfrac{z}{18}=1$

• D.

  $\large \dfrac{x}{1}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{z}{3}=1$

Gọi $\Large A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c)$ và phương trình mặt phẳng

(P): $\Large \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$

Vì $\Large OA, OB, OC$ đôi một vuông góc $\Large \Rightarrow $ thể tích khối chóp O.ABC là

$\Large V=\dfrac{1}{6}OA.OB.OC=\dfrac{abc}{6}$

Điểm $\Large M \in (P)$ suy ra $\Large 1=\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c}\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{1}{a}.\dfrac{2}{b}.\dfrac{3}{c}}\Leftrightarrow 1\ge {{3}^{3}}.\dfrac{6}{abc}$

$\Large \Rightarrow abc \ge 162\Rightarrow V\ge 27$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\Large \dfrac{1}{a}=\dfrac{2}{b}=\dfrac{3}{c}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow \left\{ \begin{align} a = 3\\b = 6\\c = 9 \end{align} \right.$. Vậy

$\Large (P): \dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{6}+\dfrac{z}{9}=1$

Đáp án B