Trong không gian $\Large Oxyz$, cho các điểm $\Large A(3;-1;2),B(1;1;2

Trong không gian $\Large Oxyz$, cho các điểm $\Large A(3;-1;2),B(1;1;2),C(1;-1;4)$, đường tròn $\Large (C)$ là giao của mặt phẳng $\Large (P): x+y+z-4=0$ và mặt cầu $\Large (S): x^{2}+y^{2}+z^{2}-4x-6z+10=0$. Hỏi có bao nhiêu điểm M thuộc đường tròn $\Large (C)$ sao cho $\Large T=MA+MB+MC$ đạt giá trị lớn nhất?

• A. $\Large 3$
• B. $\Large 2$
• C. $\Large 4$
• D. $\Large 1$

Ta có mặt cầu $\Large (S)$ có tâm $\Large I(2;0;3)$ và bán kính $\Large R=\sqrt{3}$

Gọi $\Large \Delta$ là đường thẳng đi qua I và vuông góc với $\Large (P)$ ta có $\Large \Delta: \left\{\begin{align}&x=2+t\\&y=t\\&z=3+t\\\end{align}\right.$ $\Large (t \in \mathbb{R})$.

Tâm J của đường tròn giao tuyến $\Large (C)$ chính là giao điểm của $\Large \Delta$ và $\Large (P) \Rightarrow J\left(\dfrac{5}{3};-\dfrac{1}{3};\dfrac{8}{3}\right)$

Thấy $\Large A,B,C \in (P),JA = JB = JC = \dfrac{2\sqrt{6}}{3},AB = BC = CA = 2\sqrt{2}$ nên $\Large A,B,C \in (C)$ và tam giác ABC đều

TH1: Xét M thuộc cung nhỏ $\Large \stackrel\frown{BC}$. Lấy điểm E thuộc đoạn AM sao cho MB = ME mà $\Large \widehat{BME}=\widehat{BCA} =60^{o}$ (do góc nội tiếp cùng chắn cung $\Large \stackrel\frown{AB}$) suy ra tam giác BME đều.

Ta có $\Large \widehat{ABE}=\widehat{CBM}$ (vì cùng cộng với góc $\Large \widehat{EBC}$ bằng $\Large 60^{o}$) $\Large \Rightarrow \Delta ABE = \Delta CBM \Rightarrow MC = AE$

$\Large \Rightarrow MB + MC = ME + EA =MA$

$\Large \Rightarrow MA + MB + MC = 2MA$ nên $\Large MA + MB + MC$ đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi $\Large MA$ đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi $\Large MA$ là đường kính tức M là điểm chính giữa cung nhỏ $\Large \stackrel\frown{BC}$. Vậy trong trường hợp này có một điểm M thỏa mãn

TH2 và TH3: Xét M thuộc cung nhỏ $\Large \stackrel\frown{AB},\stackrel\frown{AC}$ do vai trò bình đẳng các đỉnh của tam giác đều hoàn toàn tương tự mỗi trường hợp cũng có một điểm M thỏa mãn.

Vậy có ba điểm M thuộc đường tròn $\Large (C)$ sao cho $\Large MA + MB + MC$ đạt giá trị lớn nhất