Trong không gian với hệ tọa độ $\large Oxyz$, cho điểm $\large A(2;-1;

Trong không gian với hệ tọa độ $\large Oxyz$, cho điểm $\large A(2;-1;-2)$ và đường thẳng $\large d$ có phương trình: $\large \dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z-1}{1}$. Gọi $\large (P)$ là mặt phẳng đi qua $\large A$, song song với $\large d$ và khoảng cách từ $\large d$ tới $\large (P)$ lớn nhất. Khi đó, Mặt phẳng $\large (P)$ vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?

• A. $\Large -x+2y+3z+10 = 0$
• B. $\Large -x+2y+3z-3 = 0$
• C. $\Large y+z+3 = 0$
• D. $\Large x-y+z-6 = 0$

Đáp án D

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d

Gọi K là hình chiếu vuông góc của H lên (P) $\Large \Rightarrow  d(d;(P)) = d(H;(P)) = HK$

Ta có $\Large HA\ge HK\Rightarrow HK$ lớn nhất khi $\Large K \equiv A$

Ta tìm tọa độ điểm H

Phương trình đường thẳng $\Large d: \left\{ \begin{align} x = 1+t\\y = 1-t\\z = 1+t \end{align} \right.$

$\Large H\in d\Rightarrow H(1+t;1-t;1+t); \overrightarrow{AH}=(t-1;2-t;t+3)$

Ta có: $\Large \overrightarrow{AH}\bot \overrightarrow{{{u}_{d}}}=(1;-1;1)$ $\Large \Leftrightarrow  \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0 \Leftrightarrow t=0 $ $\Large \Rightarrow \overrightarrow{AH}=(-1;2;3)$

Vậy phương trình mặt phẳng $\Large (P): -1(x-2)+2(y+1)+3(z+2) = 0$

$\Large \Leftrightarrow  -x+2y+3z+10 = 0$

Kiểm tra sự vuông góc với các đáp án A,B,C,D ta thấy chỉ có đáp án D thỏa mãn