Trong không gian với hệ tọa độ $\Large Oxyz$, cho điểm $\Large A(1;2;-

Trong không gian với hệ tọa độ $\Large Oxyz$, cho điểm $\Large A(1;2;-3)$ và mặt phẳng $\Large (P): 2x+2y-z+9=0$. Đường thẳng $\Large d$ đi qua $\Large A$ và vuông góc với mặt phẳng $\Large (Q):3x+4y-4z+5=0$ cắt mặt phẳng $\Large (P)$ tại $\Large B$. Điểm $\Large M$ nằm trong mặt phẳng $\Large (P)$ sao cho $\Large M$ luôn nhìn $\Large AB$ dưới góc vuông và độ dài $\Large MB$ lớn nhất. Tính độ dài $\Large MB$

• A. $\Large MB=\sqrt{41}$
• B. $\Large MB=\dfrac{\sqrt{41}}{2}$
• C. $\Large MB=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$
• D. $\Large MB=\sqrt{5}$

+ Đường thẳng $\Large d$ đi qua $\Large A(1;2;-3)$ và có vecto chỉ phương $\Large \overrightarrow{u}=(3;4;-4)$ có phương trình là $\Large \left\{\begin{align}&x=1+3t\\&y=2+4t\\&z=-3-4t\\\end{align}\right.$

+ Ta có $\Large MB^{2}=AB^{2}-MA^{2}$. Do đó $\Large (MB)_{max}$ khi và chỉ khi $\Large (MA)_{min}$

+ Gọi E là hình chiếu của A lên $\Large (P)$. Ta có: $\Large AM\geq AE$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\Large M \equiv E$

Khi đó $\Large (AM)_{min}=AE$ và $\Large MB$ qua B nhận $\Large \overrightarrow{BE}$ làm vecto chỉ phương

+ Ta có $\Large B\in d$ nên $\Large B(1+3t;2+4t;-3-4t)$ mà $\Large B \in (P)$ suy ra:

$\Large 2(1+3t)+2(2+4t)-(-3-4t)+9=0\Leftrightarrow t=-1 \Rightarrow B(-2;-2;1)$

+ Đường thẳng AE qua $\Large A(1;2;-3)$, nhận $\Large \overrightarrow{n_P}=(2;2;-1)$ làm vecto chỉ phương có phương trình là $\Large \left\{\begin{align}&x=1+2t'\\&y=2+2t'\\&z=-3-t'\\\end{align}\right.$

Suy ra $\Large E(1+2t';2+2t';-3-t')$

Mặt khác, $\Large E \in (P)$ nên $\Large 2(1+2t')+2(2+2t')-(-3-t')+9=0\Leftrightarrow t' =-2\Rightarrow E(-3;-2;-1)$

Khi đó $\Large MB =BE=\sqrt{5}$