Trong không gian với hệ trục tọa độ $\Large Oxyz$, cho mặt phẳng $\Lar

Trong không gian với hệ trục tọa độ $\Large Oxyz$, cho mặt phẳng $\Large (P): x+y-z+2=0$ và hai đường thẳng $\Large d:\left\{\begin{align}&x=1+t\\&y=t\\&z=2+2t\\\end{align}\right.$; $\Large d':\left\{\begin{align}&x=3-t'\\&y=1+t'\\&z=1-2t'\\\end{align}\right.$. Biết rằng có 2 đường thẳng có các đặc điểm: song song với $\Large (P)$; cắt $\Large d, d'$ và tạo với $\Large d$ góc $\Large 30^{o}$. Tính cosin góc tạo bởi hai đường thẳng đó

• A. $\Large \sqrt{\dfrac{2}{3}}$
• B. $\Large \dfrac{1}{2}$
• C. $\Large \dfrac{1}{\sqrt{5}}$
• D. $\Large \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

Gọi $\Large \Delta$ là đường thẳng cần tìm, $\Large \overrightarrow{n_P}$ là VTPT của mặt phẳng $\Large (P)$

Gọi $\Large M(1+t;t;2+2t)$ là giao điểm của $\Large \Delta$ và $\Large d; M'(3-t';1+t';1-2t')$ là giao điểm của $\Large \Delta$ và $\Large d'$

Ta có : $\Large \overrightarrow{MM'}=(2-t'-t;1+t'-t;-1-2t'-2t)$

$\Large MM' // (P) \Leftrightarrow$ $\Large \left\{\begin{align}&M, M'\notin (P)\\& \overrightarrow{MM'}\perp \overrightarrow{n_P}\\\end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow t'=-2 \Rightarrow \overrightarrow{MM'}=(4-t;-1-t;3-2t)$

Ta có $\Large \cos 30^{o}=\cos(\overrightarrow{MM'},\overrightarrow{u_d})\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{|-6t+9|}{\sqrt{36t^{2}-108t+156}}\Rightarrow \left[\begin{align}&t=4\\&t=-1\\\end{align}\right.$

Vậy, có 2 đường thẳng thỏa mãn là $\Large \Delta_1:\left\{\begin{align}&x=5\\&y=4+t\\&z=10+t\\\end{align}\right.$, $\Large \Delta_2:\left\{\begin{align}&x=t'\\&y=-1\\&z=t'\\\end{align}\right.$

Khi đó $\Large \cos(\Delta_1,\Delta_2)=\dfrac{1}{2}$