Trong không gian với hệ tọa độ $\Large Oxyz$, cho ba điểm $\Large A(a;

Trong không gian với hệ tọa độ $\Large Oxyz$, cho ba điểm $\Large A(a;0;0), B(1;b;0), C(1;0;c)$ với a, b, c là các số thực thay đổi sao cho H(3;2;1) là trực tâm của tam giác. Tính S = a + b + c

• A. S = 2
• B. S = 19
• C. S = 11
• D. S = 9

Để $\Large H(3;2;1)$ là trực tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $\Large \left\{\begin{align}&\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0\\&\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=0\\&H\in (ABC)\\\end{align}\right.$

$\Large \overrightarrow{AH}=(3-a;2;1), \overrightarrow{BC}(0;-b;c)$

$\Large \overrightarrow{BH}(2;2-b;1), \overrightarrow{AC}(1-a;0;c)$

Ta có $\Large \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0\Leftrightarrow -2b+c=0\Leftrightarrow c= 2b$

$\Large \overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=0\Leftrightarrow 2(1-a)+c=0$, thay c = 2b ta được a = b + 1

Khi đó $\Large \overrightarrow{AB}=(-b;b;0)\Rightarrow \overrightarrow{AB}$ cùng phương với $\Large \overrightarrow{u}(-1;1;0), \overrightarrow{AC}(-b;0;2b)\Rightarrow \overrightarrow{AC}$ cùng phương với $\Large \overrightarrow{v}(-1;0;2)$

Ta có $\Large [\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}]=(2;2;1).$ Để $\Large H \in (ABC)$ khi và chỉ khi $\Large \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{AH}$ đồng phẳng

$\Large \Leftrightarrow [\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}]\overrightarrow{AH}=0\Leftrightarrow 2(3-a)+4+1=0\Leftrightarrow a=\dfrac{11}{2}\Rightarrow b = \dfrac{9}{2},c=9$

Vậy a + b + c =19