Trong không gian $\Large Oxyz$, cho hình hộp chữ nhật $\Large ABCD.A'B

Trong không gian $\Large Oxyz$, cho hình hộp chữ nhật $\Large ABCD.A'B'C'D'$ có điểm A trùng với gốc hệ trục tọa độ $\Large B(a;0;0), D(0;a;0), A'(0;0;b) (a>0,b>0)$. Gọi M là trung điểm của cạnh CC'. Giá trị của tỉ số $\Large \dfrac{a}{b}$ để hai mặt phẳng $\Large (A'BD)$ và $\Large (MBD)$ vuông góc với nhau là

• A. $\Large \dfrac{1}{3}$
• B. $\Large \dfrac{1}{2}$
• C. $\Large -1$
• D. $\Large 1$

Ta có $\Large \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\Rightarrow C(a;a;0)\Rightarrow C'(a;a;b)\Rightarrow M\left(a;a;\dfrac{b}{2}\right)$

có $\Large \overrightarrow{MB}=\left(0;-a;-\dfrac{b}{2}\right); \overrightarrow{BD}=(-a;a;0)$ và $\Large \overrightarrow{A'B}=(a;0;-b)$

có $\Large \overrightarrow{u}=[\overrightarrow{MB};\overrightarrow{BD}]=\left(\dfrac{ab}{2};\dfrac{ab}{2};-a\right)$ và $\Large \overrightarrow{BD};\overrightarrow{A'B'}]=(-a^{2};-a^{2};-a^{2})$

Chọn $\Large \overrightarrow{v}=(1;1;1)$ là VTPT của (A'BD)

$\Large (A'BD)\perp (MBD)\Leftrightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0\Leftrightarrow \dfrac{ab}{2}+\dfrac{ab}{2}-a^{2}=0\Leftrightarrow a=b\Rightarrow \dfrac{a}{b}=1$