Trong không gian với hệ trục tọa độ $\Large Oxyz$, cho mặt phẳng $\Lar

Trong không gian với hệ trục tọa độ $\Large Oxyz$, cho mặt phẳng $\Large (P):3x+y-z+5=0$ và hai điểm $\Large A(1;0;2); B(2;-1;4)$. Tìm tập hợp các điểm $\Large M(x;y;z)$ nằm trên mặt phẳng $\Large (P)$ sao cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất.

• A. $\Large \left\{\begin{align}&x-7y-4z+7=0\\&3x-y+z-5=0\\\end{align}\right.$
• B. $\Large \left\{\begin{align}&x-7y-4z+14=0\\&3x+y-z+5=0\\\end{align}\right.$
• C. $\Large \left\{\begin{align}&x-7y-4z+7=0\\&3x+y-z+5=0\\\end{align}\right.$
• D. $\Large \left\{\begin{align}&3x-7y-4z+5=0\\&3x+y-z+5=0\\\end{align}\right.$

Ta thấy hai điểm A, B nằm cùng 1 phía với mặt phẳng $\Large (P)$ và AB song song với $\Large (P)$. Điểm $\Large M\in (P)$ sao cho tam giác ABM có diện tích nhỏ nhất

$\Large \Leftrightarrow S_{\Delta ABC}=\dfrac{AB.d(M;AB)}{2}$ nhỏ nhất $\Large \Leftrightarrow d(M;AB)$ nhỏ nhất, hay $\Large M\in \Delta =(P)\cap (Q), (Q)$ là mặt phẳng đi qua AB và vuông góc với $\Large (P)$

Ta có $\Large \overrightarrow{AB}=(1;-1;2)$, vtpt của $\Large (P)\overrightarrow{n_{(P)}}=(3;1;-1)$

Suy ra vtpt của $\Large (Q): \overrightarrow{n_{(Q)}}=[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{n_{(P)}}]=(-1;7;4)$

PTPT $\Large (Q): -1(x-1)+7y+4(z-2)=0$

$\Large \Leftrightarrow x-7y-4z+7=0$

Quỹ tích M là $\Large \left\{\begin{align}&x-7y-4z+7=0\\&3x+y-z+5=0\\\end{align}\right.$