Trong không gian $\Large Oxyz$, cho các mặt phẳng $\Large (P): 2x+4y-z

Trong không gian $\Large Oxyz$, cho các mặt phẳng $\Large (P): 2x+4y-z-7=0, (Q):4x+5y+z-14=0,(R):x+2y-2z-2=0$ và $\Large (S): x+2y-2z+4=0$

Biết mặt cầu $\Large (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=D$ có tâm nằm trên $\Large (P)$ và $\Large (Q)$, cùng tiếp xúc với $\Large (R)$ và $\Large (S)$. Giá trị $\Large a+b+c$ bằng

• A. 2
• B. 3
• C. 5
• D. 4

Gọi $\Large I(a;b;c)$ là tâm của mặt cầu $\Large (S'):(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=D$

Vì I nằm trên $\Large (P)$ và $\Large (Q)$ nên $\Large \left\{\begin{align}&2a+4b-c-7=0\\&4a+5b+c-14=0\\\end{align}\right.$ (1)

Mặt khác, $\Large (S')$ cùng tiếp xúc với $\Large (R)$ và $\Large (S)$ nên:

$\Large d(I,(R))=d(I,(S))\Rightarrow \dfrac{|a+2b-2c-2|}{3}=\dfrac{|a+2b-2c+4|}{3}$

$\Large \left[\begin{align}&a+2b-2c-2=a+2b-2c+4\\&a+2b-2c-2=-a-2b+2c-4\\\end{align}\right.$ $\Large \Rightarrow \left[\begin{align}&-2=4\\&a+2b-2c+1=0\\\end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow a+2b-2c+1=0(2)$

Từ (1) và (2) ta được hệ: $\Large \left\{\begin{align}&2a+2b-c-7=0\\&4a+5b+c-14=0\\&a+2b-2c+1=0\\\end{align}\right.$ $\Large \Rightarrow \left\{\begin{align}&a=-1\\&b=3\\&c=3\\\end{align}\right.$ $\Large \Rightarrow a+b+c=5$