Trong không gian với hệ tọa độ $\Large Oxyz$, cho ba điểm $\Large A(0;

Trong không gian với hệ tọa độ $\Large Oxyz$, cho ba điểm $\Large A(0;1;1),B(3;0;-1),C(0;21;-19)$ và mặt cầu $\Large (S):(x-1)^{2}+(y-1)^{2}+(z-1)^{2}=1,M(a;b;c)$ là điểm thuộc mặt cầu $\Large (S)$ sao cho biểu thức $\Large T=3MA^{2}+2MB^{2}+MC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng a + b +c

• A. $\Large a+b+c=\dfrac{14}{5}$
• B. $\Large a+b+c=0$
• C. $\Large a+b+c=\dfrac{12}{5}$
• D. $\Large a+b+c=12$

$\Large (S): (x-1)^{2}+(y-1)^{2}+(z-1)^{2}=1$ có tâm $\Large I(1;1;1)$

Gọi $\Large G(x;y;z)$ là điểm thỏa mãn

$\Large 3\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align}&3(0-x)+2(3-x)+(0-x)=0\\&3(1-y)+2(0-y)+(21-y)=0\\&3(1-z)+2(-1-z)+(-19-z)=0\\\end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align}&x=1\\&y=4\\&z=-3\\\end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow G(1;4;-3)$

Ta có:

$\Large T=3MA^{2}+2MB^{2}+MC^{2}$

$\Large =3MG^{2}+6\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GA}+3GA^{2}+2MG^{2}+4\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GB}+2GB^{2}+2\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GC}+GC^{2}$

$\Large =6MG^{2}+2\overrightarrow{MG}(3\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})+3GA^{2}+2GB^{2}+GC^{2}=6MG^{2}+3GA^{2}+2GB^{2}+GC^{2}$

$\Large T_{min}\Leftrightarrow M$ là giao điểm của đường thẳng IG và mặt cầu (S), sao cho M và G cùng phía với I

Phương trình đường thẳng $\Large IG:\left\{\begin{align}&x=1\\&y=1+3t\\&z=1-4t\\\end{align}\right.$

$\Large M=IG\cap (S)$ nên tọa độ M là nghiệm của hệ

$\Large \left\{\begin{align}&x=1\\&y=1+3t\\&z=1-4t\\&(x-1)^{2}+(y-1)^{2}+(z-1)^{2}=1\\\end{align}\right.$ $\Large \Rightarrow \left[\begin{align}&t=\dfrac{1}{5}\\&t=\dfrac{-1}{5}\\\end{align}\right.$. Khi đó $\Large \left[\begin{align}&M_1\left(1;\dfrac{8}{5};\dfrac{1}{5}\right)\\&M_2\left(1;\dfrac{2}{5};\dfrac{9}{5}\right)\\\end{align}\right.$

Vì $\Large M_1G < M_2G$ nên điểm $\Large M=M_1\left(1;\dfrac{8}{5};\dfrac{1}{5}\right)$

Vậy $\Large a+b+c=\dfrac{14}{5}$