Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\Large (P): 3x+y-2z=0$ và hai đư

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\Large (P): 3x+y-2z=0$ và hai đường thẳng $\Large d_1:\dfrac{x+1}{-1}=\dfrac{y-6}{2}=\dfrac{z}{1}$ và $\Large d_2: \dfrac{x-1}{-3}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z+4}{4}$. Đường thẳng vuông góc với (P) và cắt cả hai đường thẳng $\Large d_1$ và $\Large d_2$ có phương trình là

• A. $\Large \dfrac{x+2}{3}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z}{-2}$
• B. $\Large \dfrac{x+5}{3}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-4}{-2}$
• C. $\Large \dfrac{x+2}{3}=\dfrac{y-8}{1}=\dfrac{z-1}{-2}$
• D. $\Large \dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z-2}{-2}$

Gọi $\Large \Delta$ là đường thẳng vuông góc với (P) cắt $\Large d_1$ tại A và cắt $\Large d_2$ tại B

Vì $\Large A\in d_1\Rightarrow A(-1-a;6+2a;a)$

và $\Large B\in d_2\Rightarrow B(-1-3b;2-b;-4+2b)$

$\Large \overrightarrow{AB}=(2+a-3b;-4-2a-b;-4-a+4b)$

$\Large (P):3x+y-3z=0\Rightarrow(P)$ có vtpt $\Large \overrightarrow{n}=(3;1;-2)$

Vì $\Large \Delta \perp (P)\Rightarrow\overrightarrow{AB}$ và $\Large \overrightarrow{n}$ cùng phương

$\Large \Rightarrow \dfrac{2+a-3b}{3}=\dfrac{-4-2a-b}{1}=\dfrac{-4-a+4b}{-2}$

$\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align}&a=-2\Rightarrow A(;2;-2}\\&b=1\Rightarrow B(-2;1;0)\\\end{align}\right.$

Đường thẳng $\Large \Delta$ qua B(-2;1;0) nhận $\Large \overrightarrow{n}=(3;1;-2)$ làm vtcp 

Nên có phương trình chính tắc: $\Large \dfrac{x+2}{3}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z}{-2}$

Cách khác: $\Large (P): 3x+y-2z=0\Rightarrow (P)$ có vtpt $\Large \overrightarrow{u}=(3;1;-2)$

$\Large d_1:\dfrac{x+1}{-1}=\dfrac{y-6}{2}=\dfrac{z}{1}\Rightarrow d_1$ có vtcp $\Large \overrightarrow{u_1}(-1;2;1)$ và đi qua điểm M(-1;6;0)

Gọi $\Large (\alpha)$ là mặt phẳng chứa $\Large d_1$ và vuông góc với $\Large (P)$. Khi đó, vtpt của $\Large (\alpha)$ là $\Large \overrightarrow{u_{\alpha}}=[\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u_1}]=(-5;1;-7)$

Suy ra phương trình mặt phẳng $\Large (\alpha)$ là

$\Large -5(x+1)+1(y-6)-7z=0\Leftrightarrow -5x+y-7z-11=0$

$\Large d_2:\dfrac{x-1}{-3}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z+4}{4}\Rightarrow d_2$ có vtcp $\Large \overrightarrow{u_2}(-3;-1;4)$ và đi qua điểm $\Large M_2(1;2;-4)$

Gọi $\Large (\beta)$ là mặt phẳng chứa $\Large d_2$ và vuông góc với (P). Khi đó, vtpt của $\Large (\beta)$ là $\Large \overrightarrow{u_{\beta}}=\dfrac{1}{6}[\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u_2}]=(1;-3;0)$

Suy ra phương trình mặt phẳng $\Large (\beta)$ là

$\Large 1(x-1)-3(y-2)+0(z+4)=0\Leftrightarrow x-3y+5=0$

Gọi d là đường thẳn cần tìm, ta thấy $\Large d=(\alpha)\cap (\beta)$

Ta giải hệ $\Large \left\{\begin{align}&-5x+y-7z-11=0\\&x-3y+5=0\\\end{align}\right.$

Cho $\Large x=-2\Rightarrow y=1\Rightarrow z=0$. Vậy d đi qua điểm có tọa độ (-2;1;0)

Do $\Large d\perp (P)$ nên d có vtcp là $\Large \overrightarrow{u}(3;1;-2)$

Vậy đường thẳng d có phương trình $\Large \dfrac{x+2}{3}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z}{-2}$