Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $\Large y=(m^{2}-1

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $\Large y=(m^{2}-1)x^{4}-2mx^{2}$ đồng biến trên khoảng $\Large (1;+\infty)$

• A. $\Large m \leq -1$ hoặc $\Large m > 1$
• B. $\Large m \leq -1$ hoặc $\Large m\geq \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$
• C. $\Large m\leq -1$
• D. $\Large m=-1$ hoặc $\Large m>\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$

Trường hợp $\Large m^{2}-1=0\Leftrightarrow m\pm 1$. Hàm số tương đương $\Large y=\left\{\begin{align}&-2x^{2}\ khi\ m=1\\&2x^{2}\ khi\ m=-1\\\end{align}\right.$

Suy ra m = -1 thì hàm số đồng biến trên khoảng $\Large (1;+\infty)$

Trường hợp $\Large m^{2}-1\neq 0\Leftrightarrow m\neq \pm 1$

Để hàm số đồng biến trên khoảng $\Large (1;+\infty)$ thì $\Large m^{1}-1 > 0\Leftrightarrow \left[\begin{align}&m > 1\\&m < -1\\\end{align}\right.$

Ta có $\Large y'=4(m^{2}-1)x^{3}-4mx$

$\Large y'=0\Leftrightarrow 4(m^{2}-1)x^{3}-4mx=0\Leftrigtarrow$ $\Large \left[\begin{align}&x=0\\&(m^{2}-1)x^{2}-m=0\\\end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left[\begin{align}&x=0\\&x^{2}=\dfrac{m}{m^{2}-1}\\\end{align}\right.$

Trường hợp $\Large m < -1\Rightarrow x^{2}=\dfrac{m}{m^{2}-1}$ vô nghiệm. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\Large (1;+\infty)$

Trường hợp $\Large m > 1$. Ta có $\Large x=\sqrt{\dfrac{m}{m^{2}-1}}\geq 1\Leftrightarrow$ $\Large \left[\begin{align}&m \leq \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\\&m\geq \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\\\end{align}\right.$ $\Large \Rightarrow m\geq \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$

Tổng hợp ba trường hợp, ta được đáp án B