Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $\Large \sqr

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $\Large \sqrt{1+x}+\sqrt{8-x}+\sqrt{8+7-x^{2}}=m$ có nghiệm thực?

• A. 13
• B. 12
• C. 6
• D. 7

Xét phương trình $\Large \sqrt{1+x}+\sqrt{8-x}+\sqrt{8+7-x^{2}}=m$ (điều kiện: $\Large -1\leq x\leq 8$)

Đặt $\Large t=\sqrt{1+x}+\sqrt{8-x}(3\leq t\leq 3\sqrt{2}$), ta có

$\Large t^{2}=9+2\sqrt{(1+x)(8-x)}=9+2\sqrt{8+7x-x^{2}}\Rightarrow \sqrt{8+7x-x^{2}}=\dfrac{t^{2}-9}{2}$

Suy ra $\Large (1)\Leftrightarrow t+\dfrac{t^{2}-9}{2}=m\Leftrightarrow t^{2}+2t-9=2m(2)$

Đặt $\Large g(t)=t^{2}+2t-9$

Suy ra phương trình (1) có nghiệm $\Large \Leftrightarrow$ Phương trình (2) có nghiệm $\Large t\in [3;3\sqrt{2}]$

$\Large \Leftrightarrow \underset{[3;3\sqrt{3}]}{min}g(t)\leq 2m\leq \underset{[3;3\sqrt{2}]}{max}g(t)$

Xét hàm số $\Large g(t)=t^{2}+2t-9$ ta được:

$\Large \underset{[3;3\sqrt{2}]}{min}g(t)=6$ tại $\Large x=3\ underset{[3;3\sqrt{3}]}{max}g(t)=9+6\sqrt{2}$ tại $\Large x=3\sqrt{2}$

Suy ra phương trình (1) có nghiệm $\Large \Leftrightarrow 6\leq 2m \leq 9+6\sqrt{2}\Leftrightarrow 3\leq m\leq \dfrac{9+6\sqrt{2}}{2}$

Vì $\Large m\in \mathbb{Z}$ nên $\Large m\in\{3;4;5;6;7;8\}$

Vậy có 6 giá trị nguyên của m để phương trình (1) có nghiệm thực