Trong không gian $\Large Oxyz$ cho mặt phẳng $\Large (P): 2x+2y-z-3=0$

Trong không gian $\Large Oxyz$ cho mặt phẳng $\Large (P): 2x+2y-z-3=0$ và hai đường thẳng $\Large d_1: \dfrac{x-3}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z+5}{-2}$, $\Large d_2: \dfrac{x}{1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z+1}{-1}$. Gọi $\Large I, J$ lần lượt là giao điểm của $\Large d_1, d_2$ và $\Large (P)$. Đường thẳng song song với mặt phẳng $\Large (P)$, cắt $\Large d_1, d_2$, đồng thời tạo với $\Large IJ$ một góc lớn nhất có phương trình chính tắc là

• A.

  $\Large \dfrac{x+2}{-1}=\dfrac{y+3}{2}=\dfrac{z-1}{2}$.

• B.

  $\Large \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z+3}{2}$.

• C.

  $\Large \dfrac{x+2}{2}=\dfrac{y+3}{-1}=\dfrac{z-1}{2}$.

• D.

  $\Large \dfrac{x}{-1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z+1}{2}$.

Chọn C

Ta có $\Large I=d_1\cap (P)$ $\Large \Rightarrow \left\{\begin{align} & 2x+2y-z-3=0\\ & \dfrac{x-3}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z+5}{-2}\end{align}\right.$ $\Large \Rightarrow I(1; -1; -3)$.

$\Large J=d_2\cap (P)$ $\Large \Rightarrow \left\{\begin{align} & 2x+2y-z-3=0\\ & \dfrac{x}{1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z+1}{-1}\end{align}\right.$ $\Large \Rightarrow J(0; 1; -1)$.

$\Large \overrightarrow{IJ}=(-1; 2; 2)$

$\Large (P)$ có véc tơ pháp tuyến $\Large \overrightarrow{n}=(2; 2; -1)$. Gọi $\Large \Delta$ là đường thẳng cần tìm.

Gọi $\Large A=d_1\cap \Delta\Rightarrow A(2a+3; a; -2a-5)$.

Gọi $\Large B=d_2\cap \Delta\Rightarrow B(b; 2b+1; -b-1)$.

$\Large \Rightarrow \overrightarrow{AB}=(b-2a-3; 2b-a+1; -b+2a+4)$.

Ta có $\Large \Delta \parallel (P)$ $\Large \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{n}=0$ $\Large \Leftrightarrow 7b-8a-8=0$ $\Large \Leftrightarrow -8a+7b=8$

$\Large \cos (\Delta; IJ)=\left|\cos (\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{IJ})\right|=\dfrac{\left|\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{IJ}\right|}{\left| \overrightarrow{AB} \right|.\left| \overrightarrow{IJ} \right|}$ $\Large =\dfrac{\left|-(b-2a-3)+2(2b-a+1)+2(-b+2a+4)\right|}{3.\sqrt{(b-2a-3)^2+(2b-a+1)^2+(-b+2a+4)^2}}$ $\Large =\dfrac{\left|4a+b+13\right|}{3.\sqrt{(b-2a-3)^2+(2b-a+1)^2+(-b+2a+4)^2}}$.

Góc giữa $\Large (\Delta; IJ)$ lớn nhất thỏa mãn $\Large \cos (\Delta; IJ)=0$ $\Large \Leftrightarrow 4a+b+13=0$.

Từ đó ta có $\Large \left\{\begin{align} & -8a+7b=8\\ & 4a+b+13=0\end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align} & a=-\dfrac{11}{4}\\ & b=-2\end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align} & B(-2; -3; 1)\\ & \overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{4}(2; -1; 2)\end{align}\right.$

Vậy phương trình chính tắc của $\Large \Delta: \dfrac{x+2}{2}=\dfrac{y+3}{-1}=\dfrac{z-1}{2}$.