Trong không gian, cho đường thẳng $\large d: \left\{\begin{matrix} x =

Đường thẳng $\large d$ có một vectơ chỉ phương $\large \vec u = (1; -1; -1)$ , mặt phẳng $\large (\alpha)$ có một vectơ pháp tuyến $\large \vec n = (1;1;1)$ . Ta có $\large [\vec u, \vec n] = (0; - 2; 2)$
Vì đường thẳng $\large \Delta$ nằm trong mặt phẳng $\large (\alpha)$ và $\large \Delta$ vuông góc với đường thẳng $\large d$ nên nhận vectơ $\large \vec u_{\Delta} = (0; -1;1)$ làm vectơ chỉ phương. 
Đường thẳng $\large \Delta$ nằm trong mặt phẳng $\large (\alpha)$ và cắt đường thẳng $\large d$  nên đi qua giao điểm giữa đường thẳng $\large d$ và mặt phẳng $\large (\alpha)$
Tọa độ giao điểm giữa đường thẳng $\large d$ và mặt phẳng $\large (\alpha)$ là nghiệm hệ phương trình:
$\large \left\{\begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 1 - t \\ z = 1 - t \\ x + y + z - 3 = 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = 1 \\ y = 1 \\ z = 1 \end{matrix}\right. $
Vậy phương trình đường thẳng $\large \Delta$: $\large  \left\{\begin{matrix} x = 1 \\ y = 1 - t \\ z = 1 + t \end{matrix}\right.$