Trong các hình nón tròn xoay cùng có diện tích toàn phần bằng $\large

Trong các hình nón tròn xoay cùng có diện tích toàn phần bằng $\large \pi$. Tính thể tích hình nón lớn nhất?

 

• A. A. $\large \dfrac{\pi \sqrt{2}}{9}$
• B. B. $\large \dfrac{\pi \sqrt{2}}{12}$
• C. C. $\large \dfrac{\pi \sqrt{2}}{2}$
• D. D. $\large \dfrac{\pi \sqrt{2}}{3}$

Chọn B

Ta có $\large S_{tp} = \pi \Leftrightarrow \pi rl+\pi r^{2} = \pi \Leftrightarrow rl+r^{2} = 1$

suy ra $\large l = \dfrac{1-r^{2}}{r}$ và $\large l+r = \dfrac{1}{r}$ 

Có $\large V = \dfrac{1}{3}\pi r^{2}h = \dfrac{1}{3}\pi r^{2}\sqrt{l^{2}-r^{2}} = \dfrac{1}{3}\pi r\sqrt{1-2r^{2}}$

Xét hàm số $\large y = f(x) = x\sqrt{1-2x^{2}}$ trên đoạn $\large \left [ 0;\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right ]$ ta có:

$\large \underset{\left [ 0;\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right ]}{max} f(x) = \dfrac{\sqrt{2}}{4}$ tại $\large x = \dfrac{1}{2}$.

Vậy $\large V_{max} = \dfrac{1}{3}\pi .\dfrac{\sqrt{2}}{4} = \dfrac{\pi \sqrt{2}}{12}$.