Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ , đáy ABC là tam giác có AB = 5, AC = 8 và góc

Cho lăng trụ ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác có AB = 5, AC = 8 và góc $\large \widehat{(AB,AC)} = 60^{\circ}$. Gọi V, V’ lần lượt là thể tích của khối lăng trụ ngoại tiếp và nội tiếp khối lăng trụ đã cho. Tính tỉ số $\large \dfrac{V'}{V}$?

 

• A. A. $\large \dfrac{9}{49}$
• B. B. $\large \dfrac{9}{4}$
• C. C. $\large \dfrac{19}{49}$
• D. D. $\large \dfrac{29}{49}$

Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC ta có

$\large BC^{2} = AB^{2}+AC^{2}-2.AB.AC.cos60^{\circ} = 25+64-2.5.8.\dfrac{1}{2} = 49$.

Diện tích tam giác ABC là:

$\large S = \dfrac{1}{2}AB.AC.sin60^{\circ} = \dfrac{1}{2}.5.8.\dfrac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$.

Mặt khác:

$\large S_{ABC} = \dfrac{AB.AC.BC}{4R}$, với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

$\large R = \dfrac{AB.AC.BC}{4S_{ABC}} = \dfrac{5.8.7}{4.10\sqrt{3}} = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}$.

Ngoài ra: $\large S_{ABC} = pr$, trong đó $\large p = \dfrac{1}{2}(AB+BC+AC) = 10$ và r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC $\large \Rightarrow r = \dfrac{S_{ABC}}{p} = \dfrac{10\sqrt{3}}{10} = \sqrt{3}$ 

Hình trụ ngoại tiếp và nội tiếp lăng trụ đã cho có bán kính đáy lần lượt là R, r và có chiều cao bằng chiều cao của hình lăng trụ

Giả sử h là chiều cao hình lăng trụ, ta có: $\large V = \pi R^{2}h$ và $\large V = \pi r^{2}h$ 

Vậy $\large \dfrac{V'}{V} = \dfrac{9}{49}$.

Chọn A.