Với một miếng tôn hình tròn có bán kính bằng R = 6 cm . Người ta muốn

Với một miếng tôn hình tròn có bán kính bằng R = 6cm. Người ta muốn làm một cái phễu bằng cách cắt đi một hình quạt của hình tròn này và gấp phần còn lại thành hình nón (Như hình vẽ)

Hình nón có thể tích lớn nhất khi người ta cắt cung tròn của hình quạt bằng:

• A.

  A. $\large 4\pi \sqrt{6}$ cm

• B.

  B. $\large 6\pi \sqrt{6}$ cm

• C.

  C. $\large 2\pi \sqrt{6}$ cm

• D.

  D. $\large 8\pi \sqrt{6}$ cm

Gọi x, (x>0) là chiều dài cung tròn của phần được xếp làm hình nón.

Như vậy, bán kính R của hình tròn sẽ là đường sinh của hình nón và đường tròn đáy của hình nón sẽ có độ dài là x.

Bán kính r của đáy được xác định bởi đẳng thức $\large 2\pi r = x \Rightarrow r = \dfrac{x}{2\pi }$ 

Chiều cao của hình nón tính theo Định lý Pitago là: 

$\large h = \sqrt{R^{2}-r^{2}} = \sqrt{R^{2}-\dfrac{x^{2}}{4\pi ^{2}}}$ 

Thể tích khối nón: 

$\large V = \dfrac{1}{3}\pi r^{2}h = \dfrac{1}{3}\pi \left (\dfrac{x}{2\pi }  \right )^{2}\sqrt{R^{2}-\dfrac{x^{2}}{4\pi ^{2}}}$ 

Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy ta có:

$\large V^{2} = \dfrac{4\pi ^{2}}{9}.\dfrac{x^{2}}{8\pi ^{2}}.\dfrac{x^{2}}{8\pi ^{2}}.\left (R^{2}-\dfrac{x^{2}}{4\pi ^{2}}  \right )$ 

$\large \leq \dfrac{4\pi ^{2}}{9}\left (\dfrac{\dfrac{x^{2}}{8\pi ^{2}}+\dfrac{x^{2}}{8\pi ^{2}}+R^{2}-\dfrac{x^{2}}{4\pi ^{2}}}{3}  \right )^{3} = \dfrac{4\pi ^{2}}{9}.\dfrac{R^{6}}{27}$ 

Do đó V lớn nhất khi và chỉ khi:

$\large \dfrac{x^{2}}{8\pi ^{2}} = R^{2}-\dfrac{x^{2}}{4\pi ^{2}}\Leftrightarrow x= \dfrac{2\pi }{3}R\sqrt{6} = \dfrac{2\pi }{3}6\sqrt{6} = 4\pi \sqrt{6}$.

Chọn A