Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vuô

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của cạnh BC. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng $\large 60^{\circ}$ . Gọi G là trọng tâm tam giác SAC, R là bán kính mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với mặt phẳng (SAB). Đẳng thức nào sau đây sai?

• A.

  A. R = d[G,(SAB)]

• B.

  B. $\large 3\sqrt{13}R = 2SH$

• C.

  C. $\large \dfrac{R^{2}}{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{4\sqrt{3}}{39}$

• D.

  D. $\large \dfrac{a}{R} = \sqrt{13}$

Ta có $\large 60^{\circ} = \widehat{(SA,(ABC))} =\widehat{(SA,HA)} = \widehat{SAH}$ 

Tam giác ABC đều cạnh a nên $\large AH = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ 

Trong tam giác vuông SHA, ta có $\large SH = AH.tan\widehat{SAH} = \dfrac{3a}{2}$ 

Vì mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với (SAB) nên bán kính mặt cầu R = d[G,(SAB)]

Ta có $\large d[G,(SAB)] = \dfrac{1}{3}d[C,(SAB)] = \dfrac{2}{3}d[H,(SAB)]$ 

Gọi M,E lần lượt là trung điểm AB, MB.

Suy ra $\large \begin{cases}
 & \ CM \perp AB \\ 
 & \ CM = \dfrac{a\sqrt{3}}{2} 
\end{cases}$ và $\large \begin{cases}
 & \ HE \perp AB \\ 
 & \ HE = \dfrac{1}{2}CM = \dfrac{a\sqrt{3}}{4}
\end{cases}$ 

Gọi K là hình chiếu vuông góc của H lên SE, suy ra HK $\large \perp$SE   (1)

Ta có $\large \begin{cases}
 & \ HE \perp AB \\ 
 & \ AB \perp SH
\end{cases}\Rightarrow AB \perp (SHE)\Rightarrow AB \perp HK$   (2)

Từ (1), (2) $\large \Rightarrow HK \perp (SAB)$, d[H,(SAB)] = HK.

Trong tam giác vuông SHE, ta có:

$\large HK = \dfrac{SH.HE}{\sqrt{SH^{2}+HE^{2}}} = \dfrac{3a}{2\sqrt{13}}$. Vậy

$\large R = \dfrac{2}{3}HK = \dfrac{a}{\sqrt{13}}$ 

Chọn D