Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình $\Large x+1=2 \log _{2}\l

Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình $\Large x+1=2 \log _{2}\left(2^{x}+3\right)-\log _{2}\left(2020-2^{1-x}\right)$

• A. 2020
• B. $\Large \log _{2} 2020$
• C. $\Large \log _{2} 13$
• D. 13

Chọn C

Điều kiện: $\Large 2020-2^{1-x} > 0 \Leftrightarrow 2^{1-x} < 2020 \Leftrightarrow 2^{x} > \dfrac{1}{1010} \Leftrightarrow x > -\log _{2} 1010$

Ta có:

$\Large x+1=2 \log _{2}\left(2^{x}+3\right)-\log _{2}\left(2020-2^{1-x}\right) \Leftrightarrow x+1=\log _{2} \dfrac{\left(2^{x}+3\right)^{2}}{2020-2^{1-x}}$

$\Large \Leftrightarrow \dfrac{\left(2^{x}+3\right)^{2}}{2020-2^{1-x}}=2^{x+1} \Leftrightarrow 2^{2 x}+6.2^{x}+9=4040.2^{x}-4$

$\Large \Leftrightarrow 2^{2 x}-4036.2^{x}+13=0(1)$

Đặt $\Large t=2^{x}(t > 0)$, phương trình (1) trở thành: $\Large t^{2}-4036 t+13=0, (2)$

Dễ thấy phương trình (2) luôn có hai nghiệm dương phân biệt là $\Large t_{1}, t_{2}$.

Suy ra phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt là: $\Large x_{1}=\log _{2} t_{1} ; x_{2}=\log _{2} t_{2}$

Khi đó: $\Large x_{1}+x_{2}=\log _{2} t_{1}+\log _{2} t_{2}=\log _{2}\left(t_{1} t_{2}\right)=\log _{2} 13$

Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho là: $\Large \log _{2} 13$