Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng $\large \text

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng $\large \text { d: } y=x+4$ cắt đồ thị hàm số $\large y=x^{3}+2 m x^{2}+(m+3) x+4(C)$ tại ba điểm phân biệt A(0;4), B, C sao cho tam giác MBC có diện tích bằng 4, với M(1;3).

 

• A.

  A. m=2; m=3

• B.

  B. m=3

• C.

  C. m=-2; m=-3

• D.

  D. m=-2; m=3

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị (C):

$\large \begin{array}{l} x^{3}+2 m x^{2}+(m+3) x+4=x+4 \\ \Leftrightarrow x^{3}+2 m x^{2}+(m+2) x=0 \\ \Leftrightarrow x\left(x^{2}+2 m x+m+2\right)=0 \end{array}$

$\large \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x=0 \Rightarrow y=4 \Rightarrow A(0;4)\\ x^{2}+2 m x+m+2=0(*) \end{array}\right.$

Để d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt khi (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0

$\large \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} \Delta=m^{2}-m-2>0 \\ 0^2+2m.0+m+2\neq0 \end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} m>2 \\ -2\neq m<-1 \end{array}\right.\right.$

Gọi $\large x_{1} ; x_{2}$ là hai nghiệm của (*). Theo định lí Viet, ta có

$\large \left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}=-2 m \\ x_{1} x_{2}=m+2 \end{array}\right.$

Giả sử $\large \mathrm{B}\left(\mathrm{x}_{1} ; \mathrm{x}_{1}+4\right), \mathrm{C}\left(\mathrm{x}_{2} ; \mathrm{x}_{2}+4\right)$

Ta có $\large B C=\sqrt{2\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}}$

$\large d(M, B C)=d(M, d)=\dfrac{|1-3+4|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$

(chú ý đường thẳng d chính là đường thẳng BC).

Theo đề: $\large \mathrm{S}_{\Delta \mathrm{MBC}}=4 \Leftrightarrow 1 / 2 . \mathrm{d}(\mathrm{M}, \mathrm{d}) \mathrm{BC}=4 \Leftrightarrow\left(\mathrm{x}_{1}-\mathrm{x}_{2}\right)^{2}=16$

$\large \begin{array}{l} \Leftrightarrow\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-4 x_{1} x_{2}=16 \\ \Leftrightarrow m^{2}-m-6=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} m=3(T M) \\ m=-2(L) \end{array}\right. \end{array}$

Suy ra chọn đáp án B.