Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $\large y=x

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $\large y=x^{3}-3 x^{2}+m x$ có điểm cực đại và cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng $\large d: x-2 y-5=0$?

• A.

  A. m=0

• B.

  B. m=1

• C.

  C. m=2

• D.

  D. m=3

Chọn A.

Ta có $\large y^{\prime}=3 x^{2}-6 x+m$. Hàm số có hai điểm cực trị thì y'=0 có hai nghiệm phân biệt. Khi đó ta có $\large 3 x^{2}-6 x+m=0 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
a \neq 0 \\
\Delta^{\prime}>0
\end{array} \Leftrightarrow 9-3 m>0 \Leftrightarrow m<3\right.$.

Ta có $\large y=y^{\prime} \cdot\left(\dfrac{1}{3} x-\dfrac{1}{3}\right)+\left(\dfrac{2 m}{3}-2\right) x+\dfrac{m}{3}$ suy ra đường thẳng đi qua hai cực trị của đồ thị hàm số là $\large y=\left(\dfrac{2 m}{3}-2\right) x+\dfrac{m}{3}$. Để đồ thị có hai điểm cực trị đối xứng qua đường thẳng $\large 2 x-y-5=0$ thì $\large \left(\dfrac{2 m}{3}-2\right) \cdot \dfrac{1}{2}=-1 \Leftrightarrow m=0$. Thử lại ta thấy m=0 thỏa mãn.