Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $\large y=x

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $\large y=x^{4}-4(m-1) x^{2}+2 m-1$ có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác có số đo một góc bằng $\large 120^{\circ}$

• A.

  A. $\Large m=1+\dfrac{1}{\sqrt[3]{24}}$.

• B.

  B. $\Large m=1+\dfrac{1}{\sqrt[3]{16}}$.

• C.

  C. $\Large m=1+\dfrac{1}{\sqrt[3]{48}}$.

• D.

  D. $\Large m=1+\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}$

Chọn A.
$\large y^{\prime}=4 x^{3}-8(m-1) x=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}
x=0 \\
x=\pm \sqrt{2(m-1)}
\end{array}(m>1)\right.$
Gọi 3 điểm cực trị là $\large A(0 ; 2 m-1), B\left(-\sqrt{2(m-1)} ;-4 m^{2}+10 m-5\right); C\left(\sqrt{2(m-1)} ;-4 m^{2}+10 m-5\right)$
Gọi $\large H\left(0 ;-4 m^{2}+10 m-5\right)$ là trung điểm của BC, $\large A H=4(m-1)^{2}, C H=\sqrt{2(m-1)}$

Ta có tam giác ABC cân tại A ,AH là trung tuyến nên suy ra  đồng thời là đường cao.
Xét tam giác ACH vuông tại H ta có:

$\large\tan \widehat{CAH}= \tan 60^{\circ}=\dfrac{C H}{A H} \Leftrightarrow \sqrt{2(m-1)}=4 \sqrt{3}(m-1)^{2} \Leftrightarrow(m-1)^{3}=\dfrac{1}{24} \Leftrightarrow m=1+\dfrac{1}{\sqrt[3]{24}}$.