Tìm tập hợp tất cả các giá trị của m để hàm số $\large y = \dfrac{m- \

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của m để hàm số $\large y = \dfrac{m- \sin x}{\cos^2x}$ nghịch biến trên $\large \left(0 ; \dfrac{\pi}{6}\right) $

• A. $\large m\geq 1$
• B. $\large m\leq 2$
• C. $\large m \leq \dfrac{5}{4}$
• D. D. $\large m \leq 0$

Chọn C

Ta có: $\large y' = \dfrac{-\cos^2x + 2m\sin x-2\sin^2x}{\cos^3x}= \dfrac{-1+2m\sin x-\sin^2x}{\cos^3x}$

Để hàm số nghịch biến trên $\large \left( 0 ;\dfrac{\pi}{6}\right) $ thì

$\large y'\leq 0,\forall x\in \left(0; \dfrac{\pi}{6}\right) \Leftrightarrow -\sin^2x+2m\sin x-1\leq 0,\forall x\in \left(0; \dfrac{\pi}{6}\right)$, vì $\large \cos^3x >0, \forall x\in \left(0; \dfrac{\pi}{6}\right)$ (1)

Đặt $\large \sin x= t, t\in \left(0; \dfrac{1}{2}\right)$

Khi đó: $\large (1) \Leftrightarrow -t^2+2mt-1\leq 0, \forall t\in \left(0; \dfrac{1}{2}\right)\Leftrightarrow m\leq \dfrac{t^2+1}{2t}, \forall t\in \left(0; \dfrac{1}{2}\right)$ (2)

Ta xét hàm $\large f(t) = \dfrac{t^2+1}{2t},\forall t\in \left(0; \dfrac{1}{2}\right)$

Ta có: $\large f'(t) = \dfrac{2(t^2-1)}{4t^2} < 0,\forall t\in \left(0; \dfrac{1}{2}\right)$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra: $\large (2)\Leftrightarrow m\leq \dfrac{5}{4}$