Cho tam giác ABC vuông tại A, $\large BC=a.\, AC=b,\, AB= c,\, b < c$.

Cho tam giác ABC vuông tại A, $\large BC=a.\, AC=b,\, AB= c,\, b < c$. Khi quay tam giác vuông ABC một vòng quanh cạnh BC, quanh cạnh AC, quanh cạnh AB, ta thu được các hình có diện tích toàn phần theo thứ tự bằng $\large S_a,\, S_b,\, S_c$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

• A. $\large S_b > S_c > S_a$
• B. $\large S_b > S_a > S_c$
• C. $\large S_c > S_a > S_ b$
• D. $\large S_a > S_c > S_b$

Chọn A

Gọi H là hình chiếu của A lên cạnh BC, $\large AH=h$

Khi quay tam giác vuông ABC một vòng quanh cạnh BC ta thu được hình hợp bởi hai hình nón tròn xoay có chung đáy bán kính bằng h, đường sinh lần lượt là b, c. Do đó: $\large S_a= \pi bh + \pi ch$

Khi quay tam giác vuông ABC một vòng quang cạnh AC ta thu được hình nón tròn xoay có bán kính đáy bằng c, đường sinh bằng a, $\large S_b= \pi ac +\pi c^2= \pi c(a+c)$

Khi quay tam giác vuông ABC một vòng quang cạnh AB ta thu được hình nón tròn xoay có bán kính đáy bằng b, đường sinh bằng a, $\large S_c= \pi ab+ \pi b^2 = \pi c(a+b)$

Do $\large b< c$ nên $\large \left\{\begin{align}& ab< ac\\& b^2

Ta có: $\large h = \dfrac{bc}{a} \Rightarrow S_a= \pi b^2.\dfrac{c}{a}+\pi c^2.\dfrac{b}{a}$

Tam giác ABC vuông nên $\large \dfrac{c}{a} < 1\Rightarrow \pi b^2 \dfrac{c}{a}< \pi b^2;\, \dfrac{c^2}{a^2} <1\Rightarrow \pi c^2.\dfrac{b}{a}< \pi ab$

$\large \Rightarrow S_a< \pi b^2+ \pi ab= \pi b(a+b)= S_c$. Do đó: $\large S_a < S_c$

Vậy $\large S_b > S_c > S_a$