Số các giá trị nguyên nhỏ hơn 2020 của tham số m để phương trình $\lar

Số các giá trị nguyên nhỏ hơn 2020 của tham số m để phương trình $\large \log_6 (2020x+ m) = \log_4 (1010x)$ có nghiệm là: 

• A. 2022
• B. 2020
• C. 2019
• D. 2021

Chọn A
Ta đặt: $\large \log_6 (2020x+ m) = \log_4 (1010x) = t$. Khi đó: 

$\large 2020x + m = 6^t,\, 1010x = 4^t$. Suy ra: $\large 2.4^t +m = 6^t \Leftrightarrow m= 6^t -2.4^t$

Đặt $\large f(t) = -2.4^t+ 6^t$; $\large f'(t) = 6^t.\ln 6 -2.4^t.ln 4$

$\large f'(t) = 0\Leftrightarrow \left(\dfrac{3}{2}\right)^t = \dfrac{2\ln 4}{\ln6} = \log_616\Leftrightarrow t = \log_{\dfrac{3}{2}}(\log_616) $

Bảng biến thiên:

Phương trình $\large f(t) =m$ có nghiệm khi và chỉ khi $\large m\geq f\left( \log_{\dfrac{3}{2}}(\log_616)\right) \approx -2,0$ 

Hơn nữa: $\large \left\{\begin{align}& m< 2020\\& m\in \mathbb{Z}\\\end{align}\right. $ $\large \Rightarrow \left\{\begin{align}& -2\leq m \leq 2019\\& m\in \mathbb{Z}\\\end{align}\right.$

Vậy có 2022 giá trị m thỏa mãn