Giả sử a, b là các số thực sao cho $\large x^3+y^3 = a.10^{3z} + b.10^

Giả sử a, b là các số thực sao cho $\large x^3+y^3 = a.10^{3z} + b.10^{2z} $ đúng với mọi các số thực dương x, y, z thỏa mãn $\large \log (x+y) = z$ và $\large \log (x^2+y^2) = z+1 $. Giá trị của a + b bằng 

• A.

  $\large -\dfrac{25}{2}$

• B.

  $\large -\dfrac{31}{2}$

• C.

  $\large \dfrac{31}{2}$

• D.

  $\large \dfrac{29}{2}$

Chọn D

$\large \left\{\begin{align}& \log (x+y) = z\\& \log (x^2+y^2) = z+1\\\end{align}\right. $ $\large \Leftrightarrow \left\{\begin{align}& x+y= 10^z\\& x^2+y^2= 10^{z+1}\\\end{align}\right. $ $\large \Leftrightarrow \left\{\begin{align}& x+y= 10^x\\& (x+y)^2-2xy= 10.10^z\\\end{align}\right. $ 

$\large \Leftrightarrow \left\{\begin{align}& x+y=10^z\\& 10^{2z} -2xy = 10.10^z\\\end{align}\right. $ $\large \Leftrightarrow \left\{\begin{align}& x+y= 10^z\\& xy = \dfrac{10^{2z}-10.10^z}{2}\\\end{align}\right. $

Khi đó: $\large x^3+y^3 = (x+y)^3-3xy(x+y) = 10^{3z}- 3.\left(\dfrac{10^{2z}- 10.10^z}{2}\right) .10^z$ 

$\large =\dfrac{1}{2}.(2.10^{3z}-3.10^{3z}+30.10^{2z}) = \dfrac{1}{2}.(-10^{3z}+30.10^{2z}) = -\dfrac{1}{2}.10^{3z}+15.10^{2z} $

Lại có: $\large x^3+y^3= a.10^{3z}+ b.10^{2z}$

Suy ra: $\large \left\{\begin{align}& a=-\dfrac{1}{2}\\& b=15\\\end{align}\right. $ $\large \Rightarrow a+b= \dfrac{29}{2}$