Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh $\large BC= 2a$ và $\large ABC=60^\circ$. Biết tứ giác BCC'B' là hình thoi có B'BC nhọn. Biết (BCC'B') vuông góc với (ABC) và (ABB'A') tạo với (ABC) góc $\large 45^\circ$. Thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' bằng

• A. $\large \dfrac{a^3}{\sqrt{7}}$
• B. $\large \dfrac{3a^3}{\sqrt{7}}$
• C. $\large \dfrac{6a^3}{\sqrt{7}}$
• D. $\large \dfrac{a^3}{3\sqrt{7}}$

Chọn B

Gọi H là chân đường cao hạ từ B' của tam giác B'BC. Do góc B'BC là góc nhọn nên H thuộc cạnh BC. (BCC'B') vuông góc với (ABC) suy ra: B'H là đường cao của lăng trụ ABC.A'B'C'

BCC'B' là hình thoi suy ra: $\large BB'=BC=2a$. Tam giác ABC vuông tại A, cạnh $\large BC=2a$ và $\large \widehat{ABC}=60^\circ$ suy ra: $\large AB=a,\, AC=a\sqrt{3}$

Gọi K là hình chiếu của H lên AB, do tam giác ABC là tam giác vuông tại A nên $\large HK//AC\Rightarrow \dfrac{BK}{BA}= \dfrac{BH}{BC} \Rightarrow BH = 2BK$

Khi đó mặt phẳng (B'HK) vuông góc với AB nên góc giữa hai mặt phẳng (ABB'A')  và (ABC) là góc $\Large \widehat{B'HK}$. Theo giả thiết, $\large \widehat{B'KH}= 45^\circ\Rightarrow B'K=h\sqrt{2}$, với $\large B'H= h$

Xét tam giác vuông B'BH có $\large B'H^2+ BH^2= B'B^2\Rightarrow h^2 + 4BL^2 = 4a^2$ (1)

Xét tam giác vuông B'BK: $\large B'K^2+ BK^2=B'B^2\Rightarrow 2h^2+BK^2= 4a^2$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $\large h=\dfrac{2\sqrt{3}a}{\sqrt{7}}$

Vậy thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' bằng $\large V=S_{ABC}.h=\dfrac{1}{2}AB.BC.h= \dfrac{3a^3}{\sqrt{7}}$