Tìm số thực $\Large a$ để đường cong $\Large y=3^x(3^x-a+2)+a^2-3a$ ti

Tìm số thực $\Large a$ để đường cong $\Large y=3^x(3^x-a+2)+a^2-3a$ tiếp xúc với đường cong $\Large y=3^x+1$

 

• A.

  A. $\Large a=\dfrac{5-2\sqrt{10}}{3}$

   
• B.

  B. $\Large a=\dfrac{5+2\sqrt{10}}{3}$

   
• C.

  C. $\Large a=\dfrac{5\pm 2\sqrt{10}}{3}$

   
• D.

  D. $\Large a=1$

Chọn B

Để hai đường cong tiếp xúc thì hệ: $\Large \left\{\begin{align}&3^x(3^x-a+2)+a^2-3a=3^x+1, (1)\\&(3^x(3^x-a+2)+a^2-3a)'=(3^x+1)', (2)\\\end{align}\right.$ có nghiệm

Từ (2) ta có $\Large 3^x.\ln 3(2.3^x-a+2)=3^x.\ln 3\Leftrightarrow 2.3^x-a+2=1\Leftrightarrow 3^x=\dfrac{a-1}{2}$, chú ý khi đó a > 1

Thay lên (1) ta có:

$\Large \dfrac{a-1}{2}\left(\dfrac{a-1}{2}-a+1\right)+a^2-3a-1=0$

$\Large \Leftrightarrow  -(a-1)^2+4a^2-12a-4=0\Leftrightarrow 3a^2-10a-5=0$

$\Large \left[\begin{align}&a=\dfrac{5+2\sqrt{10}}{3}, (\text{thỏa mãn})\\&a=\dfrac{5-2\sqrt{10}}{3}, (\text{loại})\\\end{align}\right.$