Hỏi có bao nhiêu giá trị $\Large m$ nguyên dương $\Large [-2017; 2017]

Hỏi có bao nhiêu giá trị $\Large m$ nguyên dương $\Large [-2017; 2017]$ để phương trình $\Large \log (mx)=2\log (x+1)$ có nghiệm duy nhất?

• A.

  A. 4015

• B.

  B. 4014

• C.

  C. 2017

• D.

  D. 2018

Chọn D

Ta có: $\Large \log (mx)=2\log (x+1)$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align}&x>-1\\&mx=(x+1)^2\\\end{align}\right. (1)$   

Dễ thấy: $\Large x=0$ không phải là nghiệm của $\Large (1)$, do đó: $\Large (1)\Leftrightarrow \left\{\begin{align}&x>-1\\&m=\dfrac{(x+1)^2}{x}=x+\dfrac{1}{x}+2\\\end{align}\right. (2)$ 

Xét hàm số $\Large f(x)=x+\dfrac{1}{x}+2$ trên $\Large (-1; +\infty)\backslash \left\{0\right\}$

Ta có: $\Large f'(x)=1-\dfrac{1}{x^2}; f'(x)=0$

$\Large \Leftrightarrow \left[\begin{align}&x=1\\&x=-1, (\text{loại})\\\end{align}\right.$ 

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta có: phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất $\Large \Leftrightarrow \left[\begin{align}&m<0\\&m=4\\\end{align}\right.$

Mà $\Large m\in\mathbb{Z}; m\in [-2017; 2017]\Rightarrow m\in\left\{-2017; -2016; ...; -1\right\}\cup \left\{4\right\}$. Vậy có 2018 giá trị của $\Large m$ thỏa mãn