Cho $\Large a, b, c >1$. Biết rằng biểu thức $\Large P=\log_{a}(bc)+\l

Cho $\Large a, b, c >1$. Biết rằng biểu thức $\Large P=\log_{a}(bc)+\log_{b}(ac)+4\log_{c}(ab)$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\Large m$ khi $\Large \log_{b}c=n$. Tính giá trị $\Large m + n$

 

• A.

  A. $\Large m+n=14$

   
• B.

  B. $\Large m+n=\dfrac{25}{2}$

   
• C.

  C. $\Large m+n=12$

   
• D.

  C. $\Large m+n=10$

Chọn C

Phương pháp: 

$\Large \log_{a}b=\dfrac{1}{\log_{b}a}, (a, b>0; a, b\neq 1)$

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương $\Large a+b\geq 2\sqrt{ab}$

Cách giải: 

Do $\Large a, b, c>1$ nên $\Large \log_{a}b, \log_{c}a, \log_{b}c>0$

$\Large \begin{align}&P=\log_{a}(bc)+\log_{b}(ac)+4\log_{c}(ab)=\log_{a}b+\log_{a}c+\log_{b}a+\log_{b}c+4\log_{c}a+4\log_{a}b\\&=(\log_{a}b+\log_{b}a)+(\log_{a}c+4\log_{c}a)+(\log_{b}c+4\log_{c}b)\\&=\left(\log_{a}b+\dfrac{1}{\log_{a}b}\right)+\left(\dfrac{1}{\log_{c}a}+4\log_{c}a\right)+\left(\log_{b}c+\dfrac{4}{\log_{b}c}\right)\\&\geq 2\sqrt{\log_{a}b.\dfrac{1}{\log_{a}b}}+2\sqrt{\dfrac{1}{\log_{c}a}.4\log_{c}a}+2\sqrt{\log_{b}c.\dfrac{4}{\log_{b}c}}=2+4+4=10\end{align}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\Large \left\{\begin{align}&\log_{a}b=\dfrac{1}{\log_{a}b}\\&\dfrac{1}{\log_{c}a}=4\log_{c}a\\&\log_{b}c=\dfrac{4}{\log_{c}b}\end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align}&\log_{a}b=1\\&\log_{c}a=\dfrac{1}{2}\\&\log_{b}c=2\\\end{align}\right.$ 

Vậy, đạt giá trị nhỏ nhất là $\Large 10$ khi $\Large \log_{b}c=2\Rightarrow m=10, n=2\Rightarrow m+n=12$