Cho $\Large x, y$ là số thực dương thỏa mãn $\Large \log_{3}\dfrac{x+y

Cho $\Large x, y$ là số thực dương thỏa mãn $\Large \log_{3}\dfrac{x+y+1}{x+y}=x+2y$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\Large T=\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{\sqrt{y}}$.

 

• A.

  A. $\Large 3+\sqrt{3}$

   
• B.

  B. $\Large 4$

   
• C.

  C. $\Large 3+2\sqrt{3}$

   
• D.

  D. $\Large 6$

Chọn D

Phương trình tương đương với:

$\Large \log_{3}(2x+y+1)=\log_{3}(x+y)+(x+2y)$

$\Large \Leftrightarrow \log_{3}(2x+y+1)+(2x+y+1)=\log_{3}[3(x+y)]+3(x+y)$

Xét hàm số $\Large f(u)=\log_{3}u+u$, hàm số đồng biến trên $\Large (0; +\infty)$

Từ đó suy ra $\Large 2x+y+1=3(x+y)\Leftrightarrow x=1-2y\Rightarrow y<\dfrac{1}{2}$

Ta có: $\Large T=\dfrac{1}{1-2y}+\dfrac{2}{\sqrt{y}}$ với $\Large 0

$\Large T'=\dfrac{2(-4t^4+2t^3+4t^2-1)}{t^2(1-2t^2)^2}; T'=0\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{2} \left( 0

Bảng biến thiên 

Vậy $\Large T_{\min}=6$ khi $\Large t=\dfrac{1}{2}$