Gọi $\Large P$ là tập hợp tất cả các giá trị của $\Large m$ sao cho ph

Gọi $\Large P$ là tập hợp tất cả các giá trị của $\Large m$ sao cho phương trình $\Large 2^{(x-1)^2}.\log_{2}(x^2-2x+3)=4^{\left | x-m \right |}.\log_{2} (2\left |x-m  \right |+2)$ có đúng ba nghiệm phân biệt. Tính tổng các phần tử của $\Large P.$

• A.

  A. 0

• B.

  B. 1

• C.

  C. 2

• D.

  D. 3

Chọn D

Ta có: $\Large 2^{(x-1)^2}.\log_{2}(x^2-2x+3)=4^{\left|4-m\right|}.\log_{2} (2\left|x-m\right|+2)$

$\Large \Leftrightarrow 2^{x^2-2x+3}.\log_{2}(x^2-2x+3)=2^{2\left|4-m\right|+2}.\log_{2} (2\left|x-m\right|+2)$   (*)

Xét hàm số: $\Large f(t)=2^t.\log_{2}t, t\geq 2$

Có $\Large f'(t)=2^t. \ln 2.\log_{2} t+\dfrac{2^t}{t\ln 2}>0, \forall t\geq 2$

Suy ra $\Large f(t)$ là hàm số đồng biến trên $\Large [2; +\infty)$. Mà $\Large x^2-2x+3\geq 2; 2\left|x-m\right|+2\geq 2$

Suy ra: 

$\Large (*) \Leftrightarrow f(x^2-2x+3)=f(2\left|x-m\right|+2)\Leftrightarrow x^2-2x+3=2\left|x-m\right|+2$

$\Large \Leftrightarrow x^2-2x+1=2\left|x-m\right|$ $\Large \Leftrightarrow \left[\begin{align}&x^2-2x+1=2x-2m\\&x^2-2x+1=2m-2x\\\end{align}\right.$ 

$\Large \Leftrightarrow \left[\begin{align}&(x-2)^2=-2m+3, (1)\\&x^2=2m-1, (2)\\\end{align}\right.$ 

Phương trình ban đầu có 3 nghiệm khi: 

- TH1: (1) có 1 nghiệm, (2) có hai nghiệm phân biệt khác nghiệm của (1)

Suy ra: $\Large -2m+3=0\Leftrightarrow  m=\dfrac{3}{2}$ (thỏa mãn)

- TH2: (2) có một nghiệm, (1) có hai nghiệm phân biệt khác nghiệm của (2)

Suy ra: $\Large 2m-1=0\Leftrightarrow  m=\dfrac{1}{2}$ (thỏa mãn)

- TH3: (1) và (2) có hai nghiệm phân biệt và có đúng một nghiệm chung

Gọi $\Large x_{0}$ là nghiệm chung của (1) và (2). Ta có: 

$\Large \left\{\begin{align}&(x_{0}-2)^2=-2m+3\\&x_{0}^2=2m-1\\\end{align}\right.$ $\Large \Rightarrow \left\{\begin{align}&x_{0}=m\\&x_{0}^2=2m-1\\\end{align}\right.$ $\Large \Rightarrow m=1$ (thỏa mãn)

Vậy: $\Large m\in\left\{\dfrac{1}{2}; 1; \dfrac{3}{2}\right\}$