Tìm số nguyên dương n sao cho: $\Large C _{2 n +1}^{1}-2.2 C _{2 n +1}

Tìm số nguyên dương n sao cho:

$\Large C _{2 n +1}^{1}-2.2 C _{2 n +1}^{2}+3.2^{2} C _{2 n +1}^{3}-4.2^{3} C _{2 n +1}^{4}+\ldots+(2 n +1) 2^{2 n } C _{2 n +1}^{2 n +1}=2005$

• A. chưa có đáp án
• B.
• C.
• D.

Xét hàm số:

$\Large f(x)=(1+x)^{2 n+1} \Rightarrow f^{\prime}(x)=(2 n+1)(1+x)^{2 n}$ (1)

Theo công thức khai triển nhị thức Newton, ta có:

$\Large f(x)=\sum_{k=0}^{2 n+1} C_{2 n+1}^{k} x^{k}=C_{2 n+1}^{0}+C_{2 n+1}^{1} x+C_{2 n+1}^{2} x^{2}+\ldots+C_{2 n+1}^{2 n+1} x^{2 n+1}$

$\Large \Rightarrow f^{\prime}(x)=C_{2 n+1}^{1}+2 C_{2 n+1}^{2} x+3 C_{2 n+1}^{3} x^{2}+\ldots+(2 n+1) C_{2 n+1}^{2 n+1} x^{2 n}$ (2)

Đồng thời thay $\Large x=-2$ vào (1) và (2) ta có:

$\Large 2 n+1=C_{2 n+1}^{1}-2.2 C_{2 n+1}^{2}+3.2^{2} C_{2 n+1}^{3}-4.2^{3} C_{2 n+1}^{4}+\ldots+(2 n+1) 2^{2 n} C_{2 n+1}^{2 n+1}$ (3)

Từ giả thiết và (3) suy ra 

$\Large 2 n+1=2005 \Leftrightarrow n=1002$