Tìm các số hạng nguyên trong khai triển $\Large (\sqrt{3}+\sqrt[3]{2})

Tìm các số hạng nguyên trong khai triển $\Large (\sqrt{3}+\sqrt[3]{2})^{9}$

 

• A. chưa có đáp án
• B.
• C.
• D.

Theo công thức khai triển nhị thức Newton, ta có:

$\Large (\sqrt{3}+\sqrt[3]{2})^{9}=\left(3^{\dfrac{1}{2}}+2^{\dfrac{1}{3}}\right)^{9}=\sum_{k=0}^{9} C_{9}^{k} 3^{\dfrac{k}{2}} 2^{\dfrac{9-k}{3}} \cdot(1)$

Số hạng

$\Large C_{9}^{k} 3^{\dfrac{k}{2}} 2^{\dfrac{9-k}{3}}$ là nguyên 

$\Large \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} k: 2 \\ (9-k): 3 \Leftrightarrow k=0 \text { và } k=6 . \\ 0 \leq k \leq 9 \end{array}\right.$

Vậy trong khai triển trên có hai số hạng nguyên đó là:

$\Large C_{9}^{0} 3^{0} 2^{3}=8$ và $\Large C_{9}^{6} 3^{3} 2^{1}=4536$