Tìm số hạng chứa $\Large x^4$ trong khai triển biểu thức $\Large \left

Tìm số hạng chứa $\Large x^4$ trong khai triển biểu thức $\Large \left(\dfrac{2}{x}-x^{3}\right)^{n}$ với mọi $\Large x \neq 0$, biết n là số nguyên dương thỏa mãn $\Large C_{n}^{2}+n A_{n}^{2}=476$

• A.

  $\Large 1792 x^{4}$

• B.

  -1792

• C.

  1792

• D.

  $\Large -1792 x^{4}$

Ta có:

$\Large \begin{aligned}
& C_{n}^{2}+n A_{n}^{2}=476 \\
\Leftrightarrow & \dfrac{n !}{(n-2) ! \cdot 2 !}+\dfrac{n \cdot n !}{(n-2) !}=476 \\
\Leftrightarrow & \dfrac{n(n-1)}{2}+n \cdot n(n-1)=476 \\
\Leftrightarrow & 2 n^{3}-n^{2}-n-952=0 \\
\Leftrightarrow & n=8
\end{aligned}$

Với $\Large n=8$ ta được nhị thức $\Large \left(\dfrac{2}{x}-x^{3}\right)^{8}$ có số hạng tổng quát là

$\Large T _{k+1}= C _{8}^{k}\left(\dfrac{2}{x}\right)^{8-k} \cdot\left(-x^{3}\right)^{k}= C _{8}^{k}(2)^{x-k} \cdot(-1)^{k} \cdot(x)^{4 k-8}$

Như vậy, cố hạng chứa $\Large x^4$ khi và chỉ khi $\Large 4 k-8=4 \Leftrightarrow k=3$

Vậy số hạng chứa $\Large x^4$ là $\Large T _{4}=-1792 x^{4}$

Chọn đáp án D