Tìm nghiệm của phương trình $\Large 4^{\log_{0,5}(\sin^2x+5\sin x.\cos

Tìm nghiệm của phương trình $\Large 4^{\log_{0,5}(\sin^2x+5\sin x.\cos x+2)}=\dfrac{1}{9}$

• A.

  A. $\Large \left[\begin{align}&x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\\&x=\arctan\dfrac{1}{5}+k\pi\\\end{align}\right.$ $\Large (k\in\mathbb{Z})$

• B.

  B. $\Large \left[\begin{align}&x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\\&x=\arctan\dfrac{1}{3}+k\pi\\\end{align}\right.$ $\Large (k\in\mathbb{Z})$

• C.

  C. $\Large \left[\begin{align}&x=k\pi\\&x=\arctan\dfrac{1}{3}+k\pi\\\end{align}\right.$ $\Large (k\in\mathbb{Z})$

   
• D.

  D. $\Large \left[\begin{align}&x=k\pi\\&x=\arctan\dfrac{1}{5}+k\pi\\\end{align}\right.$ $\Large (k\in\mathbb{Z})$

Chọn A

Điều kiện: $\Large \sin^2x+5\sin x\cos x+2>0$

Lấy logarit cơ số 4 hai vế của phương trình ta được: 

$\Large \begin{align}\log_{0,5}(\sin^2x+5\sin x\cos x+2)=\log_{4}3^{-2}\\\Leftrightarrow -\log_{2}(\sin^2x+5\sin x\cos x+2)=-\log_{2}3\\\Leftrightarrow \sin^2x+5\sin x\cos x+2=3(TMĐK)\end{align}$ 

$\Large \Leftrightarrow \cos x(5\sin x-\cos x)=0$

* $\Large \cos x=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi (k\in\mathbb{Z})$

* $\Large 5\sin x-\cos x=0\Rightarrow \tan x=\dfrac{1}{5}\Rightarrow x=\arctan\dfrac{1}{5}+k\pi, (k\in\mathbb{Z})$