Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số $\large y=\left|x^{3}-3 x+2 m-1\r

Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số $\large y=\left|x^{3}-3 x+2 m-1\right|$ trên đoạn [0;2] là nhỏ nhất. Giá trị của m thuộc khoảng nào?

• A.

  A. $\large \left(-\dfrac{3}{2} ;-1\right)$

• B.

  B. $\large \left(\dfrac{2}{3} ; 2\right)$

• C.

  C. [-1;0]

• D.

  D. (0;1)

Xét hàm số $\large y=f(x)=x^{2}-3 x+2 m-1$ trên đoạn [0;2].

Ta có: $\large f^{\prime}(x)=3 x^{2}-3=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
x=-1 \notin[0 ; 2] \\
x=1
\end{array}\right.$

Ta có $\large f(0)=2 m-1, f(1)=2 m-3 \text { và } f(2)=2 m+1$

Suy ra $\large \underset{[0;2]}{\max} |f(x)|=\max \{|2 m-1| ;|2 m-3| ;|2 m+1|\}=\max \{|2 m-3| ;|2 m+1|\}=P$

Trường hợp 1: Xét $\large |2 m-3| \geq|2 m+1| \Leftrightarrow-4(4 m-2) \geq 0 \Leftrightarrow m \leq \dfrac{1}{2}$.

Khi đó $\large P=|2 m-3| \geq 2, \forall m \leq \dfrac{1}{2}$. Suy ra $\large P_{\min }=2 \Leftrightarrow m=\dfrac{1}{2}$.

Trường hợp 2: Xét $\large |2 m-3|<|2 m+1| \Leftrightarrow-4(4 m-2)<0 \Leftrightarrow m>\dfrac{1}{2}$.

Khi đó $\large P=|2 m+1|>2, \forall m>\dfrac{1}{2}$. Suy ra $\large P_{\text {min}}$ không tồn tại.

Vậy $\large m=\dfrac{1}{2}$.