Xét hàm số $\large f(x)=\left|x^{2}+a x+b\right|$, với a, b là tham số

Xét hàm số $\large f(x)=\left|x^{2}+a x+b\right|$, với a, b là tham số. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên [-1;3]. Khi M nhận giá trị nhỏ nhất có thể được, tính a+2b.

• A.

  A. 2

• B.

  B. 4

• C.

  C. -4

• D.

  D. 3

Xét hàm số $\large f(x)=\left|x^{2}+a x+b\right|$. Theo đề bài, M là giá trị lớn nhất của hàm số trên [-1;3].

Suy ra $\large \left\{\begin{array}{l} M \geq f(-1) \\ M \geq f(3) \\ M \geq f(1) \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} M \geq|1-a+b| \\ M \geq|9+3 a+b| \\ M \geq|1+a+b| \end{array}\right.\right.$ $\large \Rightarrow 4 M \geq|1-a+b|+|9+3 a+b|+2|-1-a-b|$

$\large \geq|1-a+b+9+3 a+b+2(-1-a-b)| \Rightarrow 4 M \geq 8 \Rightarrow M \geq 2$.

Nếu M=2 thì điều kiện cần là $\large |1-a+b|=|9+3 a+b|=|-1-a-b|=2$ và $\large 1-a+b, 9+3 a+b, -1-a-b$ cùng dấu $\large \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c} 1-a+b=9+3 a+b=-1-a-b=2 \\ 1-a+b=9+3 a+b=-1-a-b=-2 \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} a=-2 \\ b=-1 \end{array}\right.\right.$.

Ngược lại, khi $\large \left\{\begin{array}{l} a=-2 \\ b=-1 \end{array}\right.$ ta có, hàm số $\large f(x)=\left|x^{2}-2 x-1\right|$ trên [-1;3].

Xét hàm số $\large g(x)=x^{2}-2 x-1$ xác định và liên tục trên [-1;3].

$\large g^{\prime}(x)=2 x-2 ; g^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow x=1 \in[-1 ; 3]$

M là giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên $\large [-1 ; 3] \Rightarrow M=\max \{|g(-1)| ;|g(3)| ;|g(1)|\}=2$.

Vậy $\large \left\{\begin{array}{l} a=-2 \\ b=-1 \end{array}\right.$. Ta có: $\large a+2 b=-4$