MỤC LỤC
Cho một tấm tôn hình tròn có diện tích 4πdm24πdm2. Người ta cắt thành một hình quạt có góc ở đỉnh là α(0<α<2π)α(0<α<2π) như hình 1 để làm thành cái gầu múc nước hình nón như hình 2. Thể tích lớn nhất của cái gầu là:
Lời giải chi tiết:
Ta có đường sinh l của hình nón là bán kính R=2dm của hình tròn
Bán kính đáy của hình nón: r=2α2π=απr=2α2π=απ
Đường cao của hình nón: h=√22−α2π2=1π⋅√4π2−α2(0<α<2π)h=√22−α2π2=1π⋅√4π2−α2(0<α<2π)
Khi đó thể tích hình nón: V(α)=13π2.α2.√4π2−α2.Suy ra: V′(α)=13π2.(2α√4π2−α2−α3√4π2−α2)=13π2⋅α⋅(−3α2+8απ2√4π2−α2)
V′(α)=0⇔[α=0∉(0;2π)α=2√6π3∈(0;2π)α=−2√6π3∉(0;2π)
Với α=2√6π3⇒V=13π2⋅83π2⋅2√3π3=16√3π27(dm3)
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên suy ra thể tích lớn nhất của cái gầu là: V=16√3π27dm3
Xem thêm các bài tiếp theo bên dưới