Tìm hệ số của $\Large x^8$ trong khai triển thành đa thức của biểu thứ

Tìm hệ số của $\Large x^8$ trong khai triển thành đa thức của biểu thức:

$\Large P=\left[1+x^{2}(1-x)\right]^{8}$

• A. chưa có đáp án
• B.
• C.
• D.

Theo công thức khai triển Newton ta có:

$\Large P=\sum_{k=0}^{8} C_{8}^{k}\left[x^{2}(1-x)\right]^{k}=\sum_{k=0}^{8} C_{8}^{k} x^{2 k}(1-x)^{k}$

+ Với $\Large k=5,6,7,8$ thì $\Large x^{2 k}(1-x)^{k}$ chứa lũy thừa bậc thấp nhất là $\Large 2 k \geq 10$, vậy mọi số hạng cảu nó không có số hạng nào chứa lũy thừa 8 của x

+ Với $\Large k =0,1,2$ thì $\Large x^{2 k}(1-x)^{k}$ chữa lũy thừa bậc cao nhất là $\Large 3 k \leq 6$, vậy mọi số của nó không có số hạng nào chứa lũy thừa 8 của x

Vậy chỉ xet skhi $\Large k=3, k=4$

- Với $\Lareg k=3$, xét số hạng

$\Large C_{8}^{3} x^{6}\left(1-x^{3}\right)=C_{8}^{3} x^{6}\left(1-3 x+3 x^{2}-x^{3}\right)$

Số hạng chứa $\Large x^8$ ở đây là $\Large 3 C_{8}^{3} x^{8}$

- Với $\Lareg k=4$ xét số hạng: $\Large C_{8}^{3} x^{8}\left(1-x^{4}\right)$. Số hạng chứa $\Large x^8$ là: $\Large C_{ s }^{4} x^{8}$

Vậy hệ số chứa lũy thừa $\Large x^8$ trong khai triển của P là: $\Large 3 C_{8}^{4} C_{s}^{3}=238$