Tìm n để trong khai triển thu gọn biểu thức $\Large \left(\dfrac{x}{\s

Tìm n để trong khai triển thu gọn biểu thức $\Large \left(\dfrac{x}{\sqrt{2}}+3\right)^{n}$ thì hệ số của $\Large x^4$ bằng $\Large \sqrt{2}$ hệ số của $\Large x^3$

• A. 24
• B. 25
• C. 26
• D. 27

Ta có

$\Large \left(\dfrac{x}{\sqrt{2}}+3\right)^{n}=\sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} \cdot\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^{k} \cdot 3^{n-k} \cdot x^{k}$

Theo đề ta có

$\Large \begin{aligned}
& C_{n}^{4} \cdot\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^{4} \cdot 3^{n-4}=\sqrt{2} \cdot C_{n}^{3} \cdot\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^{3}-3^{n-3} \\
\Leftrightarrow & C_{n}^{4}=6 \cdot C_{n}^{3} \\
\Leftrightarrow &(n-3) !=4 ! \cdot(n-4) ! \\
\Leftrightarrow & n=27
\end{aligned}$

Chọn đáp án D