Tìm hệ số của $\Large x^7$ trong khai triển thành đa thức của $\Large

Tìm hệ số của $\Large x^7$ trong khai triển thành đa thức của $\Large (2-3 x)^{2 n}$, biết n là số nguyên dương thỏa mãn: $\Large C_{2 n+1}^{1}+C_{2 n+1}^{3}+C_{2 n+1}^{5}+\ldots+C_{2 n+1}^{2 n+1}=1024$

• A. 2099529
• B. -2099520
• C. -2099529
• D. 2099520

Chọn B

Ta có: $\Large \left\{\begin{array}{l} \sum_{k=0}^{2 n+1} C_{2 n+1}^{k}=2^{2 n+1} \\ \sum_{i=0}^{n} C_{2 n+1}^{2 i+1}=\sum_{i=0}^{n} C_{2 n+1}^{2 i} \end{array}\right.$ $\Large \Rightarrow \sum_{i=0}^{n} C_{2 n+1}^{2 i+1}=2^{2 n}=1024 \Rightarrow n=5$

Suy ra $\Large (2-3 x)^{2 n}=\sum_{k=0}^{10} C_{10}^{k} 2^{10-k}(-3)^{k} x^{k}$

Hệ số của $\Large x^7$ là $\Large C_{10}^{7} \cdot 2^{3} \cdot(-3)^{7}=-2099520$