Tìm hệ số chứa $\Large x^{10}$ trong khai triển $\Large f(x)=\left(\df

Tìm hệ số chứa $\Large x^{10}$ trong khai triển $\Large f(x)=\left(\dfrac{1}{4} x^{2}+x+1\right)^{2}(x+2)^{3 n}$ với n là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức $\Large A_{n}^{3}+C_{n}^{n-2}=14 n$

• A.

  $\Large 2^{5} C_{19}^{10}$

• B.

  $\Large 2^{5} C_{19}^{10} x^{10}$

• C.

  $\Large 2^{9} C_{19}^{10}$

• D.

  $\Large 2^{9} C_{19}^{10} x^{10}$

Từ phương trình:

$\Large A_{n}^{3}+C_{n}^{n-2}=14 n \rightarrow n=5$

Với $\Large n=5$, ta có 

$\Large f(x)=\left(\dfrac{1}{4} x^{2}+x+1\right)^{2}(x+2)^{3 n}=\dfrac{1}{16}(x+2)^{4}(x+2)^{15}=\dfrac{1}{16}(x+2)^{19}$

Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có:

$\Large f(x)=\dfrac{1}{16}(x+2)^{19}=\dfrac{1}{16} \sum_{k=0}^{19} C_{19}^{k} \cdot 2^{k} \cdot x^{19-k}$

Số hạng chứa $\Large x^{10}$ trong khai triển tương ứng với $\Large 19-k=10 \Leftrightarrow k=9$

Vậy hệ số của số hạng chứa $\Large x^{10}$ trong khai triển là $\Large \dfrac{1}{16} C_{19}^{10} 2^{9}=2^{5} C_{19}^{10}$. Chọn A